2015 地方卷 数学

已知 ${ \frac { ( 1 - i ) ^ { 2 } } { z } } = 1 + i$ （ 为虚数单位），则复数 i z =

在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;

<table><tr><td></td><td colspan="13"></td></tr><tr><td>13</td><td>0</td><td>0</td><td>3 1</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>9</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>14</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>15</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

若将运动员按成绩由好到差编为1\~35号，再用系统抽样方法从中抽取 7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )

执行如图 2 所示的程序框图，如果输入 $\mathrm { n } { = } 3$，中输入的 S=

若双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )

若实数 满足a b, ${ \frac { 1 } { a } } + { \frac { 2 } { b } } = { \sqrt { a b } }$，则 的最小值为 ab

设函数 $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - \ln ( 1 - x )$ ，则 是( )f x( )

某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

已知集合 $\mathrm { U } = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ ，A={1,3} ,B={1,3,4},则 $\mathrm { \bf A } \bigcup ( \eth _ { \ l } B ) =$

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为$\rho = 2 s i n \theta$ ，则曲线C的直角坐标方程为

若直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } \left( r > 0 \right)$ 相交于A,B两点，且 $\angle A O B = 1 2 0 ^ { o }$ （O 为坐标原点），则 =\_\_\_\_\_r

若函数 $f ( x ) = \mid 2 ^ { x } - 2 \mid - b$ 有两个零点，则实数 的取值范围是 b

已知 $\omega { > } 0 ,$ ,在函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = 2 \sin \omega \mathbf { x }$ 与 $\scriptstyle \mathbf { y } = 2 \cos \omega \mathbf { x }$ 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 $2 \sqrt { 3 }$ ，则=\_\_

（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 $A _ { 1 } , A _ { 2 }$ 和1个白球 的甲箱与装有2个红球B $a _ { 1 } , a _ { 2 }$ 和2个白球 $b _ { 1 } , b _ { 2 }$ 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

（本小题满分12分）设 的内角 的对边分别为DABC A B C, , $a , b , c , a = b \tan A$ .

（I）证明： $\sin B = \cos A$ ；

(II) 若 $\sin C - \sin A \cos B = { \frac { 3 } { 4 } }$ ，且 为钝角，求 .B A B C, ,

（本小题满分 13 分）设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 项和为n $S _ { n }$ ，已知 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ ，且 $a _ { n + 1 } = 3 S _ { n }$

$ - S _ { n + 1 } + 3 , ( n \in N ^ { * } ) $

（I）证明： $a _ { n + 2 } = 3 a _ { n }$ ；

（II）求 $S _ { n }$ 。

（本小题满分13分）已知抛物线 $C _ { 1 } : x ^ { 2 } = 4 y$ 的焦点 F也是椭圆 $C _ { 2 } : \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$

$( a > b > 0 )$ 的一个焦点， $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的公共弦长为 $2 \sqrt { 6 }$ ，过点 F 的直线 与l $C _ { 1 }$ 相交于 两点，与 A B, $C _ { 2 }$ 相交于 两点，且C D, $\overrightarrow { A C }$ 与 $\overrightarrow { B D }$ 同向.

（I）求 $C _ { 2 }$ 的方程；

（II）若 $\left| A C \right| = \left| B D \right|$ ，求直线 的斜率.l