2020 新课标 II 卷 · 文 数学

已知集合 $A=\{x| | x \mid<3, x \in Z\}, B=\{x| | x \mid>1, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B=$

$(1-i)^{4}=$

如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}$ ．设 $1 \leq i<j<k \leq 12$ ．若 $k-j=3$ 且 $j- i=4$ ，则称 $a_{i}, a_{j}, a_{k}$ 为原位大三和弦；若 $k-j=4$ 且 $j-$
$i=3$ ，则称 $a_{i}, a_{j}, a_{k}$ 为原位小三和弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）

在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 ，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者

已知单位向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则在下列向量中，与 $\boldsymbol{b}$ 垂直的是

记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$

执行右面的程序框图，若输入的 $k=0, a=0$ ，则输出的 $k$ 为

若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为（）

设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点，若 $\triangle O D E$ 的面积为 8 ，则 $C$ 的焦距的最小值为（ ）

设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ ，则 $f(x)$

已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球 $O$ 的球面上．若球 $O$ 的表面积为 16 $\pi$ ，则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（ ）

若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ ，则

若 $\sin x=-\frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 x=$ $\_\_\_\_$ ．

记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=-2, a_{2}+a_{6}=2$ ，则 $S_{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq-1, \\ x-y \geq-1, \\ 2 x-y \leq 1,\end{array}\right.$ 则 $z=x+2 y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

设有下列四个命题：
$p_{1}$ ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
$p_{2}$ ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
$p_{3}$ ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
$p_{4}$ ：若直线 $l \subset$ 平面 $\alpha$ ，直线 $m \perp$ 平面 $\alpha$ ，则 $m \perp l$ ．
则下述命题中所有真命题的序号是 $\_\_\_\_$ ．

（1）$p_{1} \wedge p_{4}$（2）$p_{1} \wedge p_{2}$（3）$\neg p_{2} \vee p_{3}$（4）$\neg p_{3} \vee \neg p_{4}$

$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+A\right)+\cos A=\frac{5}{4}$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）若 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，证明：$\triangle A B C$ 是直角三角形．

已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴重直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．

（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
（2）若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12 ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

如图，已知三棱柱 $A B C$－
$A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 为 $A M$ 上一点．过 $B_{1} C_{1}$ 和 $P$ 的平面交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ．

（1）证明：$A A_{1} / / M N$ ，且平面 $A_{1} A M N \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ；
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，若 $A O=A B=6, A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且 $\angle M P N=\frac{\pi}{3}$ ，求四棱锥 $B- E B_{1} C_{1} F$ 的体积．

已知函数 $f(x)=2 \ln x+1$ ．
（1）若 $f(x) \leq 2 x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；
②设 $a>0$ 时，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．

已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．

已知函数 $f(x)=\left|x-a^{2}\right|+|x-2 a+1|$ ．
（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x) \ldots 4$ 的解集；
（2）若 $f(x) \ldots 4$ ，求 $a$ 的取值范围．