2014 江苏卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{-2,-1,3,4\}, B=\{-1,2,3\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

2. 已知复数(i为虚数单位),则 的实部为 ▲ .

2．已知复数 $z=(5+2 \mathrm{i})^{2}$（i为虚数单位），则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$ ．

3．右图是一个算法流程图，则输出的 $n$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

4．从 $1,2,3,6$ 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 $\_\_\_\_$ A ．

5．已知函数 $y=\cos x$ 与 $y=\sin (2 x+\varphi)(0 \leqslant \varphi<\pi), \operatorname{zxxk}$ 它们的图象有一个横坐标为

$\frac{\pi}{3}$ 的交点，则 $\varphi$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．
（第3题）

6.

设抽测的树木的底部周长均在区间［80，130］上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 6 0 株树木中，有 $\_\_\_\_$株树木的底部周长小于 100 cm 。

7．在各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1, a_{8}=a_{6}+2 a_{4}$ ，则 $a_{6}$ 的值是 $\_\_\_\_$ A ．

8.

设甲、乙两个圆柱的底面分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，若它们的侧面积相等 ，且 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{9}{4}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值是 $\_\_\_\_$ A ．

9．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $x+2 y-3=0$ 被圆 $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 截得的弦长为 $\_\_\_\_$ A

10.
已知函数 若对于任意,都有 成立,则实数 的取
值范围是 ▲ .

10.

已知函数 $f(x)=x^{2}+m x-1$ ，若对于任意 $x \in[m, m+1]$ ，都有 $f(x)<0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

11.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若曲线 $y=a x^{2}+\frac{b}{x}$（ $a, b$ 为常数） zxxk过点 $P(2,-5)$ ，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7 x+2 y+3=0$ 平行，则 $a+b$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

12．如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B=8$ ， $A D=5, \overrightarrow{C P}=3 \overrightarrow{P D}, \overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}=2$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

13.

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 3 的函数，当 $x \in[0,3)$时，$f(x)=\left|x^{2}-2 x+\frac{1}{2}\right|$ ．若函数 $y=f(x)-a$ 在区间 $[-3,4]$ 上有 10 个零点（互不相同），则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

14．若 $\triangle A B C$ 的内角满足 $\sin A+\sqrt{2} \sin B=2 \sin C$ ，则 $\cos C$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ A ．

15．（本小题满分 14 分）
已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值；
（2）求 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$ 的值．

16．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$D, E, F$ 分zxxk别为棱 $P C, A C, A B$ 的中点。已知

$P A \perp A C, P A=6$,
$B C=8, D F=5$ ．
求证：（1）直线 $P A / /$ 平面 $D E F$ ；
（2）平面 $B D E \perp$ 平面 $A B C$ ．

（第16题）

17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点 ，顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，连结 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连结 $F_{1} C$ 。
（1）若点 C 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $B F_{2}=\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C \perp A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值．

（第17题）

18．（本小题满分 16 分）
如图，为了保护河上古桥 $O A$，规划建一座新桥 $B C$，同时设立一个圆形保护区。规划要求：新桥 $B C$ 与河岸 $A B$ 垂直；保护区的边界为圆心 $M$ 在线段 $O A$ 上并与 $B C$ 相切的圆。且古桥两端 $O$ 和 $A$ 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m．

经测量，点 $A$ 位于点 $O$ 正北方向 60 m 处，点 $C$ 位于点 $O$ 正东方向 170 m 处（ $O C$ 为河岸）， $\tan \angle B C O=\frac{4}{3}$．
（1）求新桥 $B C$ 的长；
（2）当 $O M$ 多长时，圆形保护区的面积最大？

（第18题）

19．（本小题满分 16 分）
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$，其中 e 是自然对数的底数．
（1）证明：$f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $m f(x) \leq \mathrm{e}^{-x}+m-1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（3）已知正数 $a$ 满足：存在 $x_{0} \in[1,+\infty)$，使得 $f\left(x_{0}\right)<a\left(-x_{0}^{3}+3 x_{0}\right)$ 成立。试比较 $\mathrm{e}^{a-1}$ 与 $a^{\mathrm{e}-1}$ 的大小，并证明你的结论．

20．（本小题满分 16 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n}=a_{m}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂。
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1}=1$，公差 $d<0$。若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$，总存在两个＂$H$ 数列＂$\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$，使得
$a_{n}=b_{n}+c_{n}$
$\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 成立。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4－ 1：几何证明选讲】

21．（10分）（2014•江苏）如图， AB 是圆 O 的直径， $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，证明：$\angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{D}$ ．

22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & \mathrm{x}\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right]$ ，向量 $\vec{\alpha}=\left[\begin{array}{l}2 \\ \mathrm{y}\end{array}\right], \mathrm{x}, \mathrm{y}$ 为实数，若 $\mathrm{A} \vec{\alpha}=\mathrm{B} \vec{\alpha}$ ，求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值．

23．（2014•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=2+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

24．（2014•江苏）已知 $\mathrm{x}>0, \mathrm{y}>0$ ，证明 $\left(1+\mathrm{x}+\mathrm{y}^{2}\right)\left(1+\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}\right) \geq 9 \mathrm{xy}$ ．
（二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）

25．（10分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同。

（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P ；
（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ ，随机变量 X 表示 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E （ X ）。

26．（10分）（2014 •江苏）已知函数 $f_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}(x>0)$ ，设 $f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数， $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．
（1）求 $2 f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2} f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值；
（2）证明：对任意 $n \in N^{*}$ ，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立。

2014年江苏省高考数学试卷