2008 地方卷 · 文 数学

＂$|x|=|y|$＂是＂$x=y$＂的

若 $0<x<y<1$ ，则

在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ，则 $a_{n}=$

函数 $f(x)=\frac{\sin x}{\sin x+2 \sin \frac{x}{2}}$ 是

已知 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，满足 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$ 的点 $M$ 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

$(1+x)^{10}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{10}$ 展开式中的常数项为

设直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 相交但不垂直，则下列说法中正确的是

电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为

已知函数 $f(x)=2 x^{2}+(4-m) x+4-m, g(x)=m x$ ，若对于任一实数 $x, f(x)$ 与

$g(x)$ 的值至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是

不等式 $2^{x^{2}+2 x-4} \leq \frac{1}{2}$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，若顶点到渐近线的距离为 1 ，则双曲线方程为 $\_\_\_\_$ ．

连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦 $A B , C D$ 的长度分别等于 $2 \sqrt{7} , 4 \sqrt{3}$ ，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 $\_\_\_\_$

已知 $\tan \alpha=-\frac{1}{3}, \cos \beta=\frac{\sqrt{5}}{5}, \alpha, \beta \in(0, \pi)$
（1）求 $\tan (\alpha+\beta)$ 的值；
（2）求函数 $f(x)=\sqrt{2} \sin (x-\alpha)+\cos (x+\beta)$ 的最大值．

因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立。该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0 。 9 倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.2 , 0.4 , 0.4$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、 1 .25 倍、 1.0 倍的概率分别是 $0.3 , 0.3 , 0.4$ 。
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率．

等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，
$b_{1}=1$ ，且 $b_{2} S_{2}=64$ ，
$b_{3} S_{3}=960$.
（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）求和：$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}$ ．

已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{3} a x^{3}-a^{2} x^{2}+a^{4}(a>0)$
（1）求函数 $y=f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $y=f(x)$ 的图像与直线 $y=1$ 恰有两个交点，求 $a$ 的取值范围．