2019 北京卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \mid-1<x<2\}, B=\{x \mid x>1\}$ ，则 $A \cup B=$

2．（5 分）已知复数 $z=2+i$ ，则 $z \cdot z=$

3．（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为（） 

5．（5 分）已知双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-y^{2}=1 \quad(a>0)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$ ，则 $a=~(\quad)$

6．（5 分）设函数 $f(x)=\cos x+b \sin x$（ $b$ 为常数），则＂$b=0$＂是＂$f(x)$ 为偶函数＂的（ ）

7．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

8．（5 分）如图，$A, B$ 是半径为 2 的圆周上的定点，$P$ 为圆周上的动点，$\angle A P B$ 是锐角，大小为 $\beta$ ，图中阴影区域的面积的最大值为（） 

9．（5 分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(-4,3), \overrightarrow{\mathrm{b}}=(6, m)$ ，且 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ 8 ．

10．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 2, \\ y \geqslant-1, \\ 4 x-3 y+1 \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $y-x$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ － 3 ，最大值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

11．（5 分）设抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为 $\_\_\_\_$ $(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ．

12．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ 40 ． 

13．（5 分）已知 $l, m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断： （1）$l \perp m$ ；（2）$m / / \alpha$ ；（3）$l \perp \alpha$ ． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若 $l \perp \alpha, l \perp m$ ，则 $m / / \alpha$ 。

14．（5 分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元／盒、 65 元／盒、 80 元／盒、 90 元／盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 $80 \%$ ． （1）当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 130 元； （2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 15 ．

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b-c=2, \cos B=-\frac{1}{2}$ ． （I）求 $b, c$ 的值； （II）求 $\sin (B+C)$ 的值．

16．（13分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=-10$ ，且 $a_{2}+10, a_{3}+8, a_{4}+6$ 成等比数列． （I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值．

17．（12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下： | 支付金额 | 不大于 2000 元 | 大于 2000 元 | | :---: | :---: | :---: | | 支付方式 | 27 人 | 3 人 | | 仅使用 $A$ | | | | 仅使用 $B$ | 24 人 | 1 人 | | :---: | :---: | :---: | （I）估计该校学生中上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数； （II）从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率； （III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元。结合（II）的结果，能否认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．

18．（14分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，$E$ 为 $C D$的中点． （I）求证：$B D \perp$ 平面 $P A C$ ； （II）若 $\angle A B C=60^{\circ}$ ，求证：平面 $P A B \perp$ 平面 $P A E$ ； （III）棱 $P B$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $C F / /$ 平面 $P A E$ ？说明理由． 

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ． （I）求椭圆 $C$ 的方程； （ II ）设 $O$ 为原点，直线 $l: y=k x+t(t \neq \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P , Q$ ，直线 $A P$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．若 $|O M| \cdot|O N|=2$ ，求证：直线 $l$ 经过定点．

20．（14 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ． （I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程； （II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ； （III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．