平面向量的数量积 · 平面向量的数量积 / 模 / 夹角
本页收录 117 道高考数学真题，来自 2008–2025 年共 115 套试卷。题目形式：单选题 60 道、填空题 43 道、解答题 14 道。出现最多的卷区：全国 69 道、北京 13 道、浙江 12 道。最常关联的考点：平面向量的线性运算（11 道）、充分条件与必要条件（5 道）、平面向量的应用举例（5 道）。2014 年出现最多，共 12 道。
代表题目（30 / 117）
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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{A B}|=2$ 。设 $C(3,4)$ ，则…
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已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则＂$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$＂是＂$\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$＂的（ ）条件。
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已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，且 $(\vec{b}-2 \vec{a}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=$（）
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已知 $\odot O$ 的半径为 1 ，直线 $P A$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $P B$ 与 $\odot O$ 交于 $B, C$ 两点，$D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O|=\sqrt{2}$ ，则…
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正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$
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在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则…
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设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$ ，则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．
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若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=5, \vec{a} \cdot \vec{b}=1$ ，则 $|\vec{b}|=$
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已知向量 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$…
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已知单位向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则在下列向量中，与 $\boldsymbol{b}$ 垂直的是
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已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范用是
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设点 $A, B, C$ 不共线，则＂ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的夹角为锐角＂是＂…
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已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$ ，则…
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已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ ，则 $\vec{a} \bullet(2 \vec{a}-\vec{b})=$（ ）
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已知 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 为平面上的两个定点，且 $|\overrightarrow{A B}|=2$ ，该平面上的动线段 PQ 的端点 $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ ，满足…
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设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \cdot \vec{n}<0$＂的（）
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如图，已知平面四边形 $A B C D, A B \perp B C, A B=B C=A D=2, C D=3, A C$与 BD 交于点 O ，记…
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设向量 $\vec{a}=(m, 1), \vec{b}=(1,2)$ ，且 $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ ，则 $m=$
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（2016•浙江）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$…
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$\vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(-1,2)$ 则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=()$
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若非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3}|\boldsymbol{b}|$ ，且…
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设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足…
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若向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1,(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a},(2 \vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=($
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已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的最大值为
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已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=$____．
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如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=\sqrt{2}, B C=2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若…
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已知向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=\underline{3}$ 근 ．
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（2011•辽宁）若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ， $(\vec{a}-\vec{c}) \cdot(\vec{b}-\vec{c}) \leqslant 0$…
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设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ 满足…
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若非零向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $|a|=|b|,(2 a+b) \cdot b=0$ ，则 a 与 b 的夹角为
上级
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