2012 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

9．不等式 $|x+2|-|x| \leq 1$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

10．$\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．（用数字作答）

11．已知递增的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{3}=a_{2}{ }^{2}-4$ ，则 $a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．曲线 $y=x^{3}-x+3$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．执行如图2所示的程序框图，若输入 $n$ 的值为 8 ，则输出 $s$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

图 2

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的参数方程分别为 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）和 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos \theta \\ y=\sqrt{2} \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），则曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的交点坐标为．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 $O$ 的半径为 $1, \mathrm{~A}, \mathrm{~B}, \mathrm{C}$ 是圆上三点，且满足 $\angle A B C=30^{\circ}$ ，过点 A 做圆 $O$ 的切线与 $O C$ 的延长线交与点 P ，则 $\mathrm{PA}=$ $\_\_\_\_$。

图3

16．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=2 \cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$（其中 $\omega>0, x \in R$ ）的最小正周期为 $10 \pi$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
②设 $\alpha, \beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], f\left(5 \alpha+\frac{5 \pi}{3}\right)=-\frac{6}{5}, f\left(5 \beta-\frac{5 \pi}{6}\right)=\frac{16}{17}$ ，求 $\cos (\alpha+\beta)$ 的值。

17．（本小题满分 13 分）
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，
（1）求图中 x 的值；
（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人， 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的数学期望。

18．（本小题满分 13 分）
如图5所示，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 在线段 $P C$ 上， $P C \perp$ 平面 $B D E$ ．
（1）证明：$B D \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）若 $P A=1, A D=2$ ，求二面角 $B-P C-A$ 的正切值．

图5

19．（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n}=a_{n+1}-2^{n+1}+1, n \in N^{*}$ ，且 $a_{1}, a_{2}+5, a_{3}$ 成等差数列。
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．

20．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q (0,2)$ 的距离的最大值为 3 ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程
（2）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M(m, n)$ ，使得直线 $l: m x+n y=1$ 与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于不同的两点 $A$、 $B$ ，且 $\triangle O A B$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $\triangle O A B$ 的面积；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分 14 分）
设 $a<1$ ，集合 $A=\{x \in R \mid x>0\}, B=\left\{x \in R \mid 2 x^{2}-3(1+a) x+6 a>0\right\}, D=A \cap B$ ．
（1）求集合 $D$（用区间表示）；
（2）求函数 $f(x)=2 x^{3}-3(1+a) x^{2}+6 a x$ 在 $D$ 内的极值点．