2012 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）若复数 $x$ 满足 $z(2-i)=11+7 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 为

（2）已知全集 $U=\{0,1,2,3,4\}$ ，集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,4\}$ ，则 $C_{U} A \cup B$ 为

（3）设 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，则＂函数 $f(x)=a^{x}$ 在 $R$ 上是减函数
＂，是＂函数 $g(x)=(2-a) x^{3}$ 在 $R$ 上是增函数＂的

（4）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 $1,2, \ldots$ ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的 32 人中，编号落入区间 $[1,450]$ 的人做问卷 $A$ ，编号落入区间［451，750］的人做问卷 $B$ ，其余的人做问卷 $C$ 。则抽到的人中，做问卷 $B$ 的人数为

（5）已知变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2 y \geq 2 \\ 2 x+y \leq 4 \\ 4 x-y \geq-1\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3 x-y$ 的取值范围是

（6）执行下面的程序图，如果输入 $a=4$ ，那么输出的 $n$ 的值为

（7）若 $\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], \sin 2 \theta=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，则 $\sin \theta=$

（8）定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+6)=f(x)$ ．当 $-3 \leq x<-1$ 时，$f(x)=-(x+2)^{2}$ ，当 $-1 \leq x<3$ 时，$f(x)=x$ 。则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots f(2012)=$

（9）函数 $y=\frac{\cos 6 x}{2^{x}-2^{-x}}$ 的图像大致为

（10）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心学率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的渐近线与椭圆 $C$ 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16 ，则椭圆 $C$ 的方程为

（11）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求

这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张．不同取法的种数为

（12）设函数 $f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=a x^{2}+b x(a, b \in R, a \neq 0)$ ，若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则下列判断正确的是

（13）若不等式 $|k x-4| \leq 2$ 的解集为 $\{x \mid 1 \leq x \leq 3\}$ ，则实数 $k=$ $\_\_\_\_$

（14）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, E, F$ 分别为线段 $A A_{1}, B_{1} C$ 上的点，则三棱锥 $D_{1}-E D F$ 的体积为 $\_\_\_\_$。

（15）设 $a>0$ ．若曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=a, y=0$ 所围成封闭图形的面积为 $a^{2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（16）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一单位圆的圆心的初始位置在 $(0,1)$ ，此时圆上一点 $P$ 的位置在 $(0,0)$ ，圆在 $x$ 轴上沿正
向滚动。当圆滚动到圆心位于 $(2,1)$ 时， $\overrightarrow{O P}$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

（17）（本小题满分 12 分）
已知向量 $\vec{m}=(\sin x, 1), \vec{n}=\left(\sqrt{3} A \cos x, \frac{A}{3} \cos 2 x\right)(A>0)$ ，函数 $f(x)=\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值为6．
（I）求 $A$ ；
（II）将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短

为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象．求 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{5 \pi}{24}\right]$ 上的值域．

（18）（本小题满分 12 分）
在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B \| C D, \angle D A B=60^{\circ}, F C \perp$ 平面
$A B C D, A E \perp B D, C B=C D=C F$.
（I）求证：$B D \perp$ 平面 $A E D$ ；

（II）求二面角 $F-B D-C$ 的余弦值．

（19）（本小题满分 12 分）

先在甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得 1 分，没有命中得 0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中一次得的概率；
（II）求该射手的总得分 $X$ 的分布列及数学期望 $E X$ 。

（20）（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=84, a_{9}=73$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中落入区间 $\left(9^{m}, 9^{2 m}\right)$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ ．

（21）（本小题满分 13 分）

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M, F, O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ ．
（I）求抛物线 $C$ 的方程；
（II）是否存在点 $M$ ，使得直线 $M Q$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标
；若不存在，说明理由；
（III）若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l: y=k x+\frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A, B, l$与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D, E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq k \leq 2$ 时，$|A B|^{2}+|D E|^{2}$ 的最小值．

22 （本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{e^{x}}$（ $k$ 为常数，$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行．
（I）求 $k$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）设 $g(x)=\left(x^{2}+x\right) f^{\prime}(x)$ ，其中 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．证明：对任意 $x>0, g(x)<1+e^{-2}$.

2012年山东省高考数学试卷（理科）