2012 新课标卷（旧） · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x-y \in A\}$ ，则B中所含元素的个数为

2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ）

3．（5分）下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：其中的真命题为（ ），
$\mathrm{p}_{1}:|\mathrm{z}|=2$,
$\mathrm{p}_{2}: \mathrm{z}^{2}=2 \mathrm{i}$,
$p_{3}$ ：z的共轭复数为 $1+i$ ，
$p_{4}$ ：z的虚部为 -1 。

4．（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 a}{2}$ 上一点，$\triangle F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为（ ）

5．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$ ，则 $a_{1}+a_{10}=$（）

6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 $\mathrm{N}(\mathrm{N} \geq 2)$ 和实数 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots$ ，$a_{n}$ ，输出 $A, B$ ，则（ ）

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

8．（5分）等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

9．（5分）已知 $\omega>0$ ，函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递减 ，则实数 $\omega$ 的取值范围是（ ）

10．（5分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{\ln (x+1)-x}$ ，则 $y=f(x)$ 的图象大致为（）

11．（5分）已知三棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的所有顶点都在球 O 的表面上，$\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 $\mathrm{SC}=2$ ，则此三棱锥的体积为（）

12．（5分）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 上，点 Q 在曲线 $\mathrm{y}=\ln (2 \mathrm{x})$ 上，则 $|\mathrm{PQ}|$ 最小值为（ ）

13．（5分）已知向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=\underline{3}$ 근 ．

14．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0, y \geqslant 0 \\ x-y \geqslant-1 \\ x+y \leqslant 3\end{array}\right.$ ；则 $z=x-2 y$ 的取值范围为——

15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $N\left(1000,50^{2}\right)$ ，且各个元件能否正常相互独立 ，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{8}$ ．

16．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为

$ 1830 $

17．（12分）已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，$a \cos C+\sqrt{3} a \sin \mathrm{C}-\mathrm{b}-\mathrm{c}=0$
（1）求 $A$ ；
（2）若 $\mathrm{a}=2, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ；求 $\mathrm{b}$,c ．

18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 $y$（单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

19．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A C=B C=\frac{1}{2} A A_{1}, D$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点 ， $\mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BD}$
（1）证明： $\mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BC}$ ；
（2）求二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小。

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

21．（12分）已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-f(0) x+\frac{1}{2} x^{2}$ ；
（1）求 $f$（ $x$ ）的解析式及单调区间；
（2）若 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b$ ，求（a＋1）b的最大值．

22．（10分）如图，$D, E$ 分别为 $\triangle A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $\triangle A B C$ 的外接圆于 $F, G$ 两点，若 $C F \| A B$ ，证明：
（1） $\mathrm{CD}=\mathrm{BC}$ ；
②$\triangle \mathrm{BCD} \sim \triangle \mathrm{GBD}$ ．

23．选修4－4；坐标系与参数方程
已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \phi \\ y=3 \sin \phi\end{array}\right.$（ $\phi$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的坐标系方程是 $\rho=2$ ，正方形 ABCD 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ ．
（1）求点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 的直角坐标；
（2）设 P 为 $\mathrm{C}_{1}$ 上任意一点，求 $|\mathrm{PA}|^{2}+|\mathrm{PB}|^{2}+|\mathrm{PC}|^{2}+|\mathrm{PD}|^{2}$ 的取值范围．

24．已知函数 $f(x)=|x+a|+|x-2|$
（1）当 $a=-3$ 时，求不等式 $f(x) \geq 3$ 的解集；
②$f(x) \leq|x-4|$ 若的解集包含［1，2］，求 $a$ 的取值范围。