2012 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（2012•天津）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{5+3 i}{4-i}=$

2．（2012•天津）设变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-2 \geqslant 0 \\ x-2 y+4 \geqslant 0 \\ x-1 \leqslant 0\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3 x-2 y$ 的最小值为

3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为

4．（2012•天津）已知 $\mathrm{a}=2^{1.2}, \mathrm{~b}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-0.8}, \mathrm{c}=2 \log _{5} 2$ ，则 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 的大小关系为

5．（2012•天津）设 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，则＂ $\mathrm{x}>\frac{1}{2}$＂是＂ $2 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-1>0$＂的

6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为

7．（2012 • 天津）将函数 $\mathrm{y}=\sin \omega \mathrm{x}$（其中 $\omega>0$ ）的图象向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度，所得图象经过点 $\left(\frac{3 \pi}{4}, 0\right)$ ，则 $\omega$ 的最小值是

8．（2012•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{AC}=2$ ．设点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=(1-\lambda) \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \lambda \in \mathrm{R}$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}=2$ ，则 $\lambda=$

9．（2012•天津）集合 $A=\{x \in R \| x-2 \mid \leq 5\}$ 中的最小整数为 $\_\_\_\_$ ．

10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

正视图

侧视图

11．（2012•天津）已知双曲线 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 与双曲线C：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{16}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 有相同的渐近线，且 $\mathrm{C}_{1}$ 的右焦点为 $\mathrm{F}(\sqrt{5}, 0)$ ．则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

12．（2012•天津）设 $m, n \in R$ ，若直线 $1: m x+n y-1=0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ ，且 1 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交所得弦的长为 $2, \mathrm{O}$ 为坐标原点，则 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的最小值为 $\_\_\_\_$。

13．（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ，过点 C 作 BD的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3, \mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

14．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是—
$\_\_\_\_$ ．

15．（2012•天津）某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析。
（i）列出所有可能的抽取结果；
（ii）求抽取的2所学校均为小学的概率．

16．（2012•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\mathrm{a}=2, \mathrm{c}=\sqrt{2}, \cos \mathrm{~A}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．
（1）求 $\sin \mathrm{C}$ 和 b 的值；
（2）求 $\cos \left(2 \mathrm{~A}+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

17．（2012•天津）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 是矩形， $\mathrm{AD} \perp \mathrm{PD}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{PC}=2 \sqrt{3}, \mathrm{PD}=\mathrm{CD}=2$ ．
（1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；
（2）证明：平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ；
（3）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值．

18．（2012•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，其前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}},\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，且 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{b}_{1}=2, \mathrm{a}_{4}+\mathrm{b}_{4}=27, \mathrm{~S}_{4}-\mathrm{b}_{4}=10$ ．
（1）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}, ~ \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，证明： $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}-8=\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1} ~\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}, ~ \mathrm{n} \geq 2\right)$ 。

19．（2012•天津）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>0), ~$ 点P $\left(\frac{\sqrt{5}}{5} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a\right)$ 在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 A 为椭圆的左顶点， O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足 $|\mathrm{AQ}|=|\mathrm{AO}|$ ，求直线 OQ 的斜率的值．

20．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\frac{1-\mathrm{a}}{2} \mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=1$ 时，设函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)$ ，最小值为 $m(t)$ 。记 $g(t)=M(t)-m(t)$ ，求函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值．

2012年天津市高考数学试卷（文科）