2012 大纲卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）复数 $\frac{-1+3 i}{1+i}=$

2．（5分）已知集合 $A=\{1,3, \sqrt{\pi}\}, B=\{1, m\}, A \cup B=A$ ，则 $m$ 的值为（ ）

3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为$x=$﹣4，则该椭圆的方程
为（　　）
A．B．
C．D．

3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

4．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点 ，则直线 $\mathrm{AC}_{1}$ 与平面 BED 的距离为（）

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}=5, S_{5}=15$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$的前 100 项和为（ ）

6．（5分）$\triangle A B C$ 中，$A B$ 边的高为 $C D$ ，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}, \vec{a} \cdot \vec{b}=0,|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=$ 2 ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=$

7．（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$（）

8．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\left|P F_{1}\right|=2 \left|P F_{2}\right|$ ，则 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=(\quad)$

8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣$y2=2$的左、右焦点，点P在C上，|$PF1|=2$
|PF2|，则cos∠$F1PF2=$（　　）
A．B．C．D．

9．（5分）已知 $x=\ln \pi, y=\log _{5} 2, z=e^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

10．（5分）已知函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则 $c=$（）

11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同
，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）
A．12种B．18种C．24种D．36种

11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同 ，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）

12．（5分）正方形 $A B C D$ 的边长为1，点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 上，$A E=B F=\frac{3}{7}$ ，动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为（

13．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x+y-3 \leqslant 0 \\ x+3 y-3 \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=3 x-y$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －1。

14．（5分）当函数 $y=\sin x-\sqrt{3} \cos x(0 \leq x<2 \pi)$ 取得最大值时，$x=\underline{\frac{5 \pi}{6}}$ 。 。

15．（5分）若 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 56 ．

16．（5分）三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都相等，$\angle B A A_{1}=\angle C A A_{1}= 60^{\circ}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为 $-\frac{\sqrt{6}}{6}$

17．（10分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $\cos (A-C)+c o s B=1, a=2 c$ ，求 $C$ ．

18．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，$P A \perp$ 底面 $A B C D$ ， $A C=2 \sqrt{2}, P A=2, E$ 是 $P C$ 上的一点，$P E=2 E C$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{PC} \mathrm{\perp}$ 平面 BED ；
（II）设二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{PB}-\mathrm{C}$ 为 $90^{\circ}$ ，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。

19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
（II）$\xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 $\xi$ 的期望。

20．（12分）设函数 $f(x)=a x+\cos x, x \in[0, \pi]$ ．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设 $f(x) \leq 1+\sin x$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）已知抛物线C：$y=(x+1) 2$ 与圆 $M:(x-1)^{2}+\left(y \frac{1}{2}\right)^{2}=r^{2}(r>0)$有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线1．
（I）求 $r$ ；
（II）设 $m$ ，$n$ 是异于I且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$ ，$n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $\mid$的距离．

22．（12分）函数 $f(x)=x^{2}-2 x-3$ ，定义数列 $\{$
$\left.x_{n}\right\}$ 如下：$x_{1}=2, x_{n+1}$ 是过两点 $P(4,5), Q_{n}( \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{f} x_{n}$ ））的直线 $P Q_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
（I）证明： $2 \leq x_{n}<x_{n+1}<3$ ；
（II）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式。