2012 浙江卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{x \mid 1<x<4\}$ ，集合 $B=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3 \leq 0\right\}$ ，则 $A \cap\left(C_{R} B\right)=$

2．已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{3+i}{1-i}=$

3．设 $a \in R$ ，则＂$a=1$＂是＂直线 $l_{1}: a x+2 y-1=0$ 与直线 $l_{2}: x+(a+1) y+4=0$ 平行＂的

4．把函数 $y=\cos 2 x+1$ 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是

5．设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个非零向量

6．若从 $1,2,3, \cdots, 9$ 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

7．设 $S_{n}$ 是公差为 $d(d \neq 0)$ 的无穷等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题错误的是

8．如图，$F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的

左、右两焦点，$B$ 是虚轴的端点，直线 $F_{1} B$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P, Q$ 两点，线段 $P Q$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$ ．若 $\left|M F_{1}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则 $C$ 的离心率是

（第8题图）

9．设 $a>0, b>0$

10．已知矩形 $A B C D, A B=1, B C=\sqrt{2}$ ．将 $\triangle A B D$ 沿矩形的对角线 $B D$ 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

11．已知某三棱锥的三视图（单位： cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{3}$ ．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 $\_\_\_\_$。

13．设公比为 $q(q>0)$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

若 $S_{2}=3 a_{2}+2, S_{4}=3 a_{4}+2$ ，则 $q=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若将函数 $f(x)=x^{5}$ 表示为
$f(x)=a_{0}+a_{1}(1+x)+a_{2}(1+x)^{2}+a_{3}(1+x)^{3}++a_{4}(1+x)^{4}++a_{5}(1+x)^{5}$,其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{5}$ 为实数，则 $a_{3}=$ $\_\_\_\_$ ．

（第 12 题图）

15．在 $\triangle A B C$ 中，$M$ 是 $B C$ 的中点，$A M=3, B C=10$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=$

16．定义：曲线 $C$ 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线 $l$的距离．已知曲线 $C_{1}: y=x^{2}+a$ 到直线 $l: y=x$ 的距离等于曲线 $C_{2}: x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 到直线 $l: y=x$ 的距离，则实数 $a=$

17．设 $a \in R$ ，若 $x>0$ 时均有 $[(a-1) x-1]\left(x^{2}-a x-1\right) \geq 0$ ，
则 $a=$

18．（本题满分 14 分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A=\frac{2}{3}, \quad \sin B=\sqrt{5} \cos C$ ．
（I）求 $\tan C$ 的值；
（II）若 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

19．（本题满分 14 分）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等） 3 个球，记随机变量 $X$ 为取出此 $\mathbf{3}$ 球所得分数之和。
（I）求 $X$ 的分布列；
（II）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ．

20．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是

边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形，$\angle B A D=120^{\circ}$ ，且 $P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，
$P A=2 \sqrt{6}, M, N$ 分别为 $P B, P D$ 的中点．
（ I ）证明：$M N \perp$ 平面 $A B C D$ ；
（II）过点 $A$ 作 $A Q \perp P C$ ，垂足为点 $Q$ ，求二面角
$A-M N-Q$ 的平面角的余弦值．

21．（本题满分 15 分）如图，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 被直线 $O P$ 平分．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）求 $\triangle A B P$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程．

（第21题图）

22．（本题满分 14 分）已知 $a>0, b \in R$ ，函数 $f(x)=4 a x^{3}-2 b x-a+b$ ．
（I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时，
（i）函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2 a-b|+a$ ；
（ii）$f(x)+|2 a-b|+a \geq 0$ ；
（II）若 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对 $x \in[0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围．