2012 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）复数 x 满足 $(z-i)(2-i)=5$ ．则 ()
A．$-2-2 i$
B $-2+2 i$
C $2-2 i$
D $2+2 i$

（6）设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交于直线 m ，直线 a 在平面 $\alpha$ 内。直线 b 在平面 $\beta$ 内，且 $\mathrm{b} \perp \mathrm{m}$ ，则＂$\alpha \perp \beta$＂是＂$a \perp b$＂的（ ）

（7）$\left(x^{2}+2\right)\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{5}$ 的展开式的常数项是（ ）

（8）在平面直角坐标系中，点 $O(0,0), P(6,8)$ ，将向量 $\overrightarrow{O P}$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $\frac{3 \pi}{4}$ 后得向量 $\overrightarrow{O Q}$ ，则点的坐标是（ ）

（9）过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 F 的直线交该抛物线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点， O 为坐标原点。若 $|A F|=3$ ，则 $\triangle \mathrm{AOB}$ 的面积为（ ）

（10） 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为（ ）

（11）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x+2 y \geq 3 \\ 2 x+y \leq 3\end{array}\right.$ ，则 $x-y$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 $\_\_\_\_$。

正（主）衩圈

解（左）栱區

德根图

第（12）题目

（13）在极坐标系中，圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的圆心到直线 $\theta=\frac{\pi}{6}(\rho \in R)$ 的距离是 $\_\_\_\_$。

（14）若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a}-\vec{b}| \leq 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

（15）设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，则下列命题正确的是
$\_\_\_\_$ （写出所有正确命题的编号）。
（1）若 $a b>c^{2}$ ，则 $C<\frac{\pi}{3}$
（2）若 $a+b>2 c$ ，则 $C<\frac{\pi}{3}$
（3）若 $a^{3}+b^{3}=c^{3}$ ，则 $C>\frac{\pi}{2}$
（4）若 $(a+b) c=2 a b$ ，则 $C>\frac{\pi}{2}$
（5）若 $\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}=2 a^{2} b^{2}$ ，则 $C>\frac{\pi}{3}$

（16）（本小题满分 12 分）设函数 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin ^{2} x$ ，
（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）设函数 $g(x)$ 对任意 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，有 $g\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=g(x)$ ，且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时， $g(x)=\frac{1}{2}-f(x)$ ，求 $g(x)$ 在区间 $[-\pi, 0]$ 上的解析式。

（18）（本小题满分 12 分）
平面图形 $A B B_{1} A_{1} C_{1} C$ 如图 1 所示，其中 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$B C=2, B B_{1}=4$ ， $A B=A C=\sqrt{2}, A_{1} B_{1}=A_{1} C_{1}=\sqrt{5}$ 。现将该平面图形分别沿 $B C$ 和 $B_{1} C_{1}$ 折叠，使 $\triangle A B C$与 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 所在平面都与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 垂直，再分别连接 $A A_{1}, B A_{1}, C A_{1}$ ，得到如图 2 所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

1

RE

蓿（ 15 ） BI 圆
（ I ）证明：$A A_{1} \perp B C$ ；（II）求 $A A_{1}$ 的长；（III）求二面角 $A-B C-A_{1}$ 的余弦值。