2012 新课标卷（旧） · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2<0\right\}, B=\{x \mid-1<x<1\}$ ，则

1．（5分）已知集合$A={x|x2$﹣x﹣2＜0}，$B={x|$﹣1＜x＜1}，则（　　）

2．（5分）复数 $\mathrm{z}=\frac{-3+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$ 的共轭复数是

3．（5分）在一组样本数据 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(n \geq 2, x_{1}\right.$ ，$x_{2}, \ldots, x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots$ ， n ）都在直线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

4．（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 \mathrm{a}}{2}$ 上一点，$\triangle \mathrm{F}_{2} \mathrm{PF}_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）

5．（5分）已知正三角形 $A B C$ 的顶点 $A(1,1), B(1,3)$ ，顶点 $C$ 在第一象限 ，若点 $(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 内部，则 $z=-x+y$ 的取值范围是（）

6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 $\mathrm{N}(\mathrm{N} \geq 2)$ 和实数 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots$ ，$a_{n}$ ，输出A，B，则（ ）

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

8．（5分）平面 $\alpha$ 截球 $O$ 的球面所得圆的半径为 1 ，球心 $O$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则此球的体积为（）

9．（5分）已知 $\omega>0,0<\phi<\pi$ ，直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 和 $x=\frac{5 \pi}{4}$ 是函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)$图象的两条相邻的对称轴，则 $\phi=$（ ）

10．（5分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=16 \mathrm{x}$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线$y2=16x$的准
线交于点A和点B，|$AB|=4$，则C的实轴长为（　　）
A．B．C．4 D．8

11．（5分）当 $0<x \leq \frac{1}{2}$ 时， $4^{x}<\log _{a} x$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

12．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前60项和为（

13．（5分）曲线 $y=x(3 \ln x+1)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=4 x-3$ ．

14．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3}+3 S_{2}=0$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ －2 ．

15．（5分）已知向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=\underline{3}$
$\_\_\_\_$
$\underline{\sqrt{2}}$。

16．（5分）设函数 $f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M+m =$ $\_\_\_\_$ 2。

17．（12分）已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B$ ，$C$ 的对边，$c=\sqrt{3} a \sin C-c \cos \mathrm{A}$ ．
（1）求 A ；
（2）若 $a=2, ~ \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b, ~ c$ ．

18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（II）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率．

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直底面，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C =\frac{1}{2} A A_{1}, D$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点．
（ I ）证明：平面 $\mathrm{BDC}_{1} \perp$ 平面 BDC
（II）平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

21．（12分）设函数 $f(x)=e^{x}-a x-2$ 。
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若 $a=1, k$ 为整数，且当 $x>0$ 时，$(x-k) f^{\prime}(x)+x+1>0$ ，求 $k$ 的最大值

22．（10分）如图，$D, E$ 分别为 $\triangle A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $\triangle A B C$ 的外接圆于 $F, G$ 两点，若 $C F \| A B$ ，证明：
（1） $\mathrm{CD}=\mathrm{BC}$ ；
②$\triangle \mathrm{BCD} \sim \triangle \mathrm{GBD}$ ．

23．选修4－4；坐标系与参数方程
已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \phi \\ y=3 \sin \phi\end{array}\right.$（ $\phi$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的坐标系方程是 $\rho=2$ ，正方形 ABCD 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为（ $2, \frac{\pi}{3}$ ）．
（1）求点 $A, B, C$ ，$D$ 的直角坐标；
②设 $P$ 为 $C_{1}$ 上任意一点，求 $|P A|^{2}+|P B|^{2}+|P C|^{2}+|P D|^{2}$ 的取值范围．

24．已知函数 $f(x)=|x+a|+|x-2|$

（1）当 $a=-3$ 时，求不等式 $f(x) \geq 3$ 的解集；
②$f(x) \leq|x-4|$ 若的解集包含［1，2］，求 $a$ 的取值范围。