2016 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设 $i$ 为虚数单位，则复数 $(1+i)^{2}=$

1.设i为虚数单位，则复数 2(1 )$i+=$

2．设集合 $A=\{x \mid 1 \leq x \leq 5\}, ~ Z$ 为整数集，则集合 $\mathrm{A} \cap \mathrm{Z}$ 中元素的个数是

3．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点坐标是

4．为了得到函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需把函数 $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}$ 的图象上所有的点

5．设 p ：实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $x>1$ 且 $y>1, \mathrm{q}$ ：实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $x+y>2$ ，则 p 是 q 的

6．已知 $a$ 函数 $f(x)=x^{3}-12 x$ 的极小值点，则 $a=$

7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 13.0 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 \%$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： $1 \mathrm{~g} 1.12=0.05,1 \mathrm{~g} 1.3=0.11,1 \mathrm{~g} 2=0.30$ ）

8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 $\mathrm{n}, \mathrm{x}$ 的值分别为 3,2 ，则输出 v 的值为

9．已知正三角形 ABC 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，平面 ABC 内的动点 $\mathrm{P}, \mathrm{M}$ 满足 $|\stackrel{\text { uu }}{A P}=1|, \stackrel{\text { uur }}{P M}=\stackrel{\text { uu }}{M C}$ ，则 $|\stackrel{\text { ur }}{B M}|^{2}$ 的最大值是

10．设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 0<x<1, \\ \ln x, x>1,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

11． $\sin 750^{\circ}=$

12．已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积

俯视图

侧视图

13．从 2、 3、 $8 , 9$ 任取两个不同的数值，分别记为 $a , b$ ，则 $\log _{a} b$ 为整数的概率 $=$ $\_\_\_\_$ ．

14．已知函数 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^{x}$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)+f(1)=$

15．在平面直角坐标系中，当 $P(x, y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为 $P^{\prime}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为它自身，现有下列命题：
①若点 A 的＂伴随点＂是点 $\mathrm{A}^{\prime}$ ，则点 $\mathrm{A}^{\prime}$ 的＂伴随点＂是点 A ．
②单元圆上的＂伴随点＂还在单位圆上．
③若两点关于 x 轴对称，则他们的＂伴随点＂关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的＂伴随点＂一定共线．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$ ．

16、（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5), ~[0.5,1), ~ \cdots \cdots$ ［4，4．5］分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中的 $a$ 值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明理由；
（III）估计居民月均用水量的中位数．

17、（12 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{PA} \perp \mathrm{CD}, \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{PAB}=90^{\circ}, B C=C D=\frac{1}{2} A D$ ．

（I）在平面 PAD 内找一点 M ，使得直线 $\mathrm{CM} / /$ 平面 PAB ，并说明理由；
（II）证明：平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 PBD ．

18、（本题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ ．
（I）证明： $\sin A \sin B=\sin C$ ；
（II）若 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{6}{5} b c$ ，求 $\tan B$ ．

19、（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $q>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $a_{2}, a_{3}, a_{2}+a_{3}$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=2$ ，求 $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+\cdots+e_{n}^{2}$ ．

20、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。

21、（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x, g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $q \in R, \mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）证明：当 $\mathrm{x}>1$ 时， $\mathrm{g}(\mathrm{x})>0$ ；
（III）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立．