2012 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）在复平面内，复数 $\frac{10 i}{3+i}$ 对应的点的坐标为

3．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

6．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（）

7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 与 n 之间的关系如图所示。从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）

9．（5 分）直线 $y=x$ 被圆 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ 截得的弦长为 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

10．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$
$\_\_\_\_$ ，$S_{n}=-\frac{1}{4^{n}(n+1)}$ $\_\_\_\_$ ．

11．（5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=\sqrt{3}, \angle \mathrm{~A}=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\angle \mathrm{C}$ 的大小为 $-\frac{\pi}{2}$－

12．（5 分）已知函数 $f(x)=\lg x$ ，若 $f(a b)=1$ ，则 $f\left(a^{2}\right)+f\left(b^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1。

14．（5 分）已知 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2$ ．若 $\forall x \in R, f(x)<$ 0 或 $\mathrm{g}(\mathrm{x})<0$ ，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-4,0$ ） ．

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调递减区间。

16．（14 分）如图 1，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, D$ ，$E$ 分别为 $A C, A B$ 的中点，点 $F$ 为线段 $C D$ 上的一点，将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $\triangle A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} F \perp C D$ ，如图 2.
（1）求证： $\mathrm{DE} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CB}$ ；
（2）求证：$A_{1} F \perp B E$ ；
（3）线段 $A_{1} B$ 上是否存在点 $Q$ ，使 $A_{1} C \perp$ 平面 $D E Q$ ？说明理由．

图1

图2

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在＂厨余垃圾＂箱、＂可回收物＂箱、＂其他垃圾＂箱的投放量分别为 $a, b, c$ ，其中 $a>0, a+b+c=600$ ．当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出

$a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值。
（求： $\mathrm{S}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots$ ， $x_{n}$ 的平均数）

18．（13 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$ 。
（1）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点（1，c）处有公共切线，求 $a, b$ 的值；
（2）当 $a=3, b=-9$ 时，函数 $f(x)+g(x)$ 在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为 28 ，求 $k$ 的取值范围．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的一个长轴顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，

离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）当 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 k 的值．

20．（13 分）设 $A$ 是如下形式的 2 行 3 列的数表，

满足性质 P：a，b，c，d，e，fe $[-1,1]$ ，且 $a+b+c+d+e+f=0$ ．
记 $r_{i}(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 $(i=1,2), C_{j}(A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 （ $j=1,2,3$ ）；记 $k(A)$ 为 $\left|r_{1}(A)\right|,\left|r_{2}(A)\right|,\left|c_{1}(A)\right|,\left|c_{2}(A)\right|$ ， $\mid c_{3}$（A） $\mid$ 中的最小值。
（1）对如下数表 $A$ ，求 $k$（A）的值

（2）设数表 A 形如

其中 $-1 \leqslant d \leqslant 0$ ．求 $k$（A）的最大值；
（III）对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A ，求 k （A）的最大值．