2009 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=R$ ，集合 $M=\{x \mid-2 \leq x-1 \leq 2\}$ 和 $N=\{x \mid x=2 k-1, k=1,2, \cdots\}$ 的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

2．设 $z$ 是复数，$a(z)$ 表示满足 $z^{n}=1$ 的最小正整数 $n$ ，则对虚数

图1

单位 $i, a(i)=$

5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是
A．（1）和②
B ．（2）和③
C ．．（3）和④
D ．（2）和（4）

6．一质点受到平面上的三个力 $F_{1}, F_{2}, F_{3}$（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 $F_{1}, F_{2}$ 成 $60^{0}$ 角，且 $F_{1}, F_{2}$

的大小分别为 2 和 4 ，则 $F_{3}$ 的大小为

8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线〈假定为

、小王五名志愿工作，若其中小工作，则不同的甲车、乙车的速度曲线分别为 $v_{\text {甲 }}$ 和 $v_{乙}$（如图2所示）．那么对于 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ ，下列判断中一定正确的是

13．（坐标系与参数方程选做题）若直线
$l_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t, \\ y=2+k t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与直线 $l_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=s, \\ y=1-2 s .\end{array}\right.$（ $s$ 为参数

$k=$ $\_\_\_\_$。

14。解：$\frac{|x+1|}{|x+2|} \geq 1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|x+1| \geq|x+2| \\ x+2 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x+1)^{2} \geq(x+2)^{2} \\ x \neq-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x+3 \leq 0 \\ x \neq-2\end{array}\right.\right.\right.$
解得 $x \leq-\frac{3}{2}$ 且 $x \neq-2$ 。所以原不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\, x \leq-\frac{3}{2}\right.\right.$ 且 $\left.x \neq-2\right\}$

15．（几何证明选讲选做题）如图4，点 $A, B, C$ 是圆 $O$ 上的点，且 $A B=4, \angle A C B=45^{\circ}$ ，则圆 $O$ 的面积等于 $\_\_\_\_$。

16．（本小题满分 12 分）
已知向量 $a=(\sin \theta,-2)$ 与 $b=(1, \cos \theta)$ 互相垂直，其中 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）求 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的值；
（2）若 $\sin (\theta-\varphi)=\frac{\sqrt{10}}{10}, 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\cos \varphi$ 的值．

17．（本小题满分 12 分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

API	0 ～ 50	$51 \sim 100$	$101 \sim 150$	151 ～ 200	201 ～ 250	251 ～ 300	＞ 300
级别	I	II	III $_{1}$	III ${ }_{2}$	$\mathrm{IV}_{1}$	$\mathrm{I}_{2}$	V
状况	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染

对某城
市一年（365
天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间
［0，50］，（50，100］，（100，
进行分组，得
到频率分布直方图如图5
（1）求直方图中 $x$ 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数
（3）求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微概率。
（结果用分数表示．已知 $5^{7}=78125,2^{7}=128$ ，
$\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{123}{9125}$,
$365=73 \times 5$ ）

图5

；
污染的

18．（本小题满分 14 分）
如图 6 ，已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 ，
点 E 是正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，点 $\mathrm{F} , \mathrm{G}$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点 $\mathrm{E} , \mathrm{G}$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的正投影。
（1）求以 E 为顶点，以四边形 $F G A E$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内
的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线 $F G_{1} \perp$ 平面 $F E E_{1}$ ；
（3）求异面直线 $E_{1} G_{1}$ 与 $E A$ 所成角的正弦值

19．（本小题满分 14 分）

图6

已知曲线 $C: y=x^{2}$ 与直线 $l: x-y+2=0$ 交于两点 $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ 和 $B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ ，且 $x_{A}（1）若点 $Q$ 是线段 $A B$ 的中点，试求线段 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程；
（2）若曲线 $G: x^{2}-2 a x+y^{2}-4 y+a^{2}+\frac{51}{25}=0$ 与 $D$ 有公共点，试求 $a$ 的最小值．

20．（本小题满分 14 分）
已知二次函数 $y=g(x)$ 的导函数的图像与直线 $y=2 x$ 平行，且 $y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$ ．设 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ ．
（1）若曲线 $y=f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值；
②$k(k \in R)$ 如何取值时，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点，并求出零点．

21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: x^{2}-2 n x+y^{2}=0(n=1,2, \ldots)$ ．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n}\left(k_{n}>0\right)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 与 $\left\{y_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdots x_{2 n-1}<\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$