构造函数（解题方法）
本页收录 46 道高考数学真题，来自 2008–2026 年共 44 套试卷。题目形式：解答题 42 道、单选题 4 道。出现最多的卷区：全国 22 道、北京 7 道、?? 4 道。最常关联的考点：导数在研究函数中的作用（6 道）、含参讨论（3 道）、函数的单调性（1 道）。2012 年出现最多，共 8 道。
代表题目（30 / 46）
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已知函数 $f(x)=x e^{x}+a x+b$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2 x+1$ ． （1） 求 $a, b$ ； （2） 当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$ ，求 $m$ 的取值…
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已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-1,+\infty), f(0)=0$ ，导函数 $f^{\prime}(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x}$ ，设 $l_{1}$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点…
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已知 $f(x)=x^{2}-(m+2) x+m \ln x, m \in \mathbf{R}$ 。 （1）若 $f(1)=0$ ，求不等式 $f(x) \leq x^{2}-1$ 的解集； （2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty)$…
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实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$ ． （1）证明： $2 a^{2}+2 b^{2}>a+b$ ； （2）证明：$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$ ．
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已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ． （1）求 $f(x)$ 的单调区间； （2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．
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已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$ ． （1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率； （2）当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$ ； （3）证明：…
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已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ． （1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程； （2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线…
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已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ． ①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； ②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围； ③设…
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已知函数 $f ( x ) = x \mathbf { e } ^ { a x } - \mathbf { e } ^ { x }$ ①当a =1时，讨论f x( )的单调性； ②当x >0时， $f ( x ) < - 1$ ，求a的取值范围； ③设…
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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$ ． （1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程； ②设 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$…
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已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=a x-x e^{x}$ ． （I）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程： （II）证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点 （III）若存在 $a$ ，使得 $f(x) \leq a+b$ 对…
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已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ． （I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程； （II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；…
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已知函数 $f \left( x \right) = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x$ （Ⅰ）求曲线 $y { = } f \left( x \right)$ 的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当x∈[﹣2，…
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已知函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \mathbf { x } } - \mathbf { x } + \mathbf { a } \ln \mathbf { x } .$ （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f…
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已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ． （1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程； （2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
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## （20）（本小题满分 13 分） 设 $f(x)=x \ln x-a x^{2}+(2 a-1) x, a \in R$ ． （I）令 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间； （II）已知 $f(x)$ 在 $x=1$…
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设函数 $f(x)=x e^{a-x}+b x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1) x+4$ ， （I）求 a ， b 的值； （II）求 $f(x)$ 的单调区间。
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已知函数 $\mathrm{f}(x)=\ln (1+x), g(x)=k x,(\mathrm{k} \hat{\mathrm{I}} R)$ ， （I）证明：当 $x>0$ 时， $\mathrm{f}(x)<x$ ； （II）证明：当 $k<1$ 时，存…
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已知函数 $\operatorname { f } ( x ) = \ln ( 1 + x ) , g ( x ) = k x , ( \mathbf { k } \hat { \textbf { l } } R )$ (Ⅰ)证明：当 $x > 0$ 时，…
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## 20.（本小题满分13分） 设函数 $f ( x ) = { \frac { e ^ { x } } { { x } ^ { 2 } } } - k ( { \frac { 2 } { x } } + \ln x )$ （k为常数，…
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已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ． （I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性； （II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值； （III）已知…
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（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in \boldsymbol{R}$． （I）若直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 与 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的反函数的图…
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（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=\sin (w x+\varphi)(w>0,0<\varphi<\pi)$ 的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象…
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（本小题满分 13 分） 某企业接到生产 3000 台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2， 1 （单位：件）．已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C部件 2 件。该企业计划安排…
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（本题满分 14 分）已知 $a>0, b \in R$ ，函数 $f(x)=4 a x^{3}-2 b x-a+b$ ． （I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时， （i）函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2 a-b|+a$ ； （ii）…
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## 22．（本小题满分13分） 设函数 $f ( x ) = x - { \frac { 1 } { x } } - a \ln x ( a \in R )$ （Ⅰ）讨论函数 f x( )的单调性. （Ⅱ）若f x( )有两个极值点…
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设函数f ${ \bf \Pi } ( \times ) \ { \bf \Pi } { = } 1 \mathrm { ~ - ~ } { \bf e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } { \bf x } }$ （Ⅰ）证明：当…
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若 $x _ { 0 }$ 是方程式 $\lg x + x = 2$ 的解，则 $x _ { 0 }$ 属于区间 [答]（ ）
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## 21. （本小题满分12分） 已知 $a > 0$ 且 $\boldsymbol a \neq 1$ 函数 $f ( x ) = \log _ { a } ( 1 - a ^ { x } )$ (I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性； （I…
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设函数 $\mathbf { f } \left( \mathbf { x } \right) { = } \frac { \mathsf { s i n x } } { 2 { + } \mathsf { c o s x } }$ （Ⅰ）求f（x）的单调区间…
常用于这些题型
相关考点
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