2009 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．设集合 $S=\{x| | x \mid<5\}, T=\left\{x \mid x^{2}+4 x-21<0\right\}$ ，则 $S \cap T=$

2．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+\log _{2} x \text {（当 } x \geq 2 \text { 时）} \\ \frac{x^{2}-4}{x-2} \text {（当 } x<2 \text { 时）}\end{array}\right.$ 在点 $x=2$ 处连续，则常数 $a$ 的值是 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 3 ．复数 $\frac{(1+2 i)^{2}}{3-4 i}$ 的值是

4．已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x \in R)$ ，下面结论错误的是

5．如图，已知六棱锥 $P-A B C D E F$ 的底面是正六边形，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=2 A B$ ，则下列结论正确的是

6．已知 $a, b, c, d$ 为实数，且 $c>d$ 。则＂$a>b$＂是＂$a-c>b-d$＂的 

7．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y=x$ ，点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \bullet \overrightarrow{P F_{2}}=$ A．-12 B．-2 C ． 0 D． 4

8．如图，在半径为 3 的球面上有 $A, B, C$ 三点，$\angle A B C=90^{\circ}, B A=B C$ ，球心 $O$ 到平面 $A B C$的距离是 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 $B , C$ 两点的球面距离是

9．已知直线 $l_{1}: 4 x-3 y+6=0$ 和直线 $l_{2}: x=-1$ ，抛物线 $y^{2}=4 x$ 上一动点 $P$  到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是

10．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18吨，那么该企业可获得最大利润是

11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

12．已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 $x$ 都有 $x f(x+1)=(1+x) f(x)$ ，则 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)$ 的值是

13．$\left(2 x-\frac{1}{2 x}\right)^{6}$ 的展开式的常数项是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

14．若 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=5$ 与 $\odot O_{2}:(x-m)^{2}+y^{2}=20(m \in R)$ 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 $\_\_\_\_$

15．如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等，$M$ 是侧 棱 $C C_{1}$的中点，则异面直线 $A B_{1}$ 和 $B M$ 所成的角的大小是 $\_\_\_\_$。

16．设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f: V \rightarrow V, a \in V$ ，记  $a$ 的象为 $f(a)$ 。若映射 $f: V \rightarrow V$ 满足：对所有 $a, b \in V$ 及任意实数 $\lambda, \mu$ 都有 $f(\lambda a+\mu b)=\lambda f(a)+\mu f(b)$ ，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换。现有下列命题： ①设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f(0)=0$ ②对 $a \in V$ ，设 $f(a)=2 a$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ③若 $e$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $a \in V$ ，设 $f(a)=a-e$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ④设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，$a, b \in V$ ，若 $a, b$ 共线，则 $f(a), f(b)$ 也共线。其中真命题是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）

16．设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $\boldsymbol{f}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V}, \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \in \boldsymbol{V}$ ，记 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 的象为 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})$ 。 若 映 射 $\boldsymbol{f}: V \rightarrow V$ 满 足：对 所 有 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \in V$ 及 任 意 实 数 $\lambda, \mu$ 都 有 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\lambda} \overrightarrow{\boldsymbol{a}}+\boldsymbol{\mu} \overrightarrow{\boldsymbol{b}})=\boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})+\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{b}})$ ，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换。现有下列命题： ①设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\mathbf{0}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$ ②对 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \in \boldsymbol{V}$ 设 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\mathbf{2} \overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ③若 $\overrightarrow{\boldsymbol{e}}$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \in \boldsymbol{V}$ 设 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\overrightarrow{\boldsymbol{a}}-\overrightarrow{\boldsymbol{e}}$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ④设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换， $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \in V$ ，若 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{b}}$ 共线，则 $f(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}), f(\overrightarrow{\boldsymbol{b}})$ 也共线。其中真命题是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号） 【考点定位】本小题考查新定义，创新题。

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中，$A, B$ 为锐角，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos 2 A=\frac{3}{5}, \sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$ （I）求 $A+B$ 的值； （II）若 $a+b=\sqrt{2}-1$ ，求 $a, b, c$ 的值。

18．（本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡。 （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ 。 ## 19 （本小题满分 12 分） 如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与平面四边形 $A B E F$ 所在平面互相垂直，$\triangle A B E$ 是等腰直角三角形，$A B=A E, F A=F E, \angle A E F=45^{\circ}$ （I）求证：$E F \perp$ 平面 $B C E$ ； （II）设线段 $C D$ 的中点为 $P$ ，在直线 $A E$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $P M \|$ 平面 $B C E$ ？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角 $F-B D-A$ 的大小。  20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $x=2$ 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该随圆交于 $M, N$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程。

21．（本小题满分 12 分） 已知 $a>0$ ，且 $a \neq 1$ 函数 $f(x)=\log _{a}\left(1-a^{x}\right)$ 。 （I）求函数 $f(x)$ 的定义域，并判断 $f(x)$ 的单调性； （II）若 $n \in N^{*}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a^{f(n)}}{a^{n}+a}$ ； （III）当 $a=e$（ $e$ 为自然对数的底数）时，设 $h(x)=\left(1-e^{f(x)}\right)\left(x^{2}-m+1\right)$ ，若函数 $h(x)$的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $h(x)$ 的极值。

22．（本小题满分 14 分） 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n}=5 S_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{*}\right)$ 。 （I）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{*}\right)$ ，设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ； （III）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ 。已知正实数 $\lambda$ 满足：对任意正整数 $n, R_{n} \leq \lambda n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值。 ## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）