2010 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．若集合 $A=\{0,1,2,3\}, B=\{1,2,4\}$ 则集合 $A \cup B=$

2．函数 $f(x)=\lg (x-1)$ 的定义域是

3．若函数 $f(x)=3^{x}+3^{-x}$ 与 $g(x)=3^{x}-3^{-x}$ 的定义域均为 R ，则

4．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和．若 $a_{2} \cdot a_{3}=2 a_{1}$ 且 $a_{4}$ 与 $2 a_{7}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{5}=$

5．若向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(2,5), \vec{c}=(3, x)$ 满足条件 $(8 \vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{c}=30$ ，则 $x=$

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

8．＂$x>0$＂是 $" \sqrt[3]{x^{2}}>0 "$ 成立的

9．如图，为正三角形，平面且，则多面体的正视图（也称主视图）是

10．在集合 $\{a, b, c, d\}$ 上定义两种运算 ⊕ 和 $\circledast$ 如下 | $\oplus$ | $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $a$ | $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | | $b$ | $b$ | $b$ | $b$ | $b$ | | $c$ | $c$ | $b$ | $c$ | $b$ | | $d$ | $d$ | $b$ | $b$ | $d$ | 那么 $d \circledast(a \oplus c)=$

13．已知 $a, b, c$ 分别是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的三个内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边，若 $a=1$ ， $b=\sqrt{3}, \quad A+C=2 B$ ，则 $\sin A=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2}$ ．

14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角 梯形 ABCD 中， $\mathrm{DC} / / \mathrm{AB}, \mathrm{CB} \perp A B, \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=a, \mathrm{CD}=\frac{a}{2}$ ，点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别为线段 $\mathrm{AB}, \mathrm{AD}$ 的中点，则 $\mathrm{EF}=-\frac{a}{2}-$ 

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 $(\rho, \theta)(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ 中，曲线 $\rho(\cos \theta+\sin \theta)=1$ 与 $\rho(\cos \theta-\sin \theta)=1$ 的交点的极坐标为 $\_\_\_\_$ ．

19．（本题满分 12 分） 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素C 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

20．（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f(x)=k f(x+2)$ ，其中 $k$ 常数为负数，且 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上有表达式 $f(x)=x(x-2)$ （1）求 $f(-1), f(2.5)$ 的值； （2）写出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的表达式，并讨论函数 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上！单调性 （3）求出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变：  的取值．

21．（本小题满分 14 分） 已知曲线 $C_{n}: y=n x^{2}$ ，点 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(x_{n}>0, y_{n}>0\right)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n=1,2, \ldots)$ ， （1）试写出曲线 $C_{n}$ 在 $P_{n}$ 点处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标； （2）若原点 $O(0,0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_{n}$ 的坐标 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ； ③设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标， 证明：$\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{(m+1) x_{n}}{2}}-\sqrt{(k+1) y_{n}}\right|<|\sqrt{m s}-\sqrt{k s}|(s=1,2, \ldots)$ ．