2016 浙江卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5 分）（2016•浙江）已知集合 $P=\{x \in R \mid 1 \leq x \leq 3\}, Q=\left\{x \in R \mid x^{2} \geq 4\right\}$ ，则 $P \cup\left(C_{R} Q\right)=$

2．（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 $\alpha, \beta$ 交于直线 1 ，若直线 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 满足 $\mathrm{m} \| \alpha$ ， $\mathrm{n} \perp \beta$ ，则

3．（5 分）（2016•浙江）在平面上，过点 P 作直线 $l$ 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 $l$ 上的投影，由区域 $\left\{\begin{array}{l}x-2 \leqslant 0 \\ x+y \geqslant 0 \\ x-3 y+4 \geqslant 0\end{array}\right.$ 中的点在直线 $x+y-2=0$ 上的投影构成的线段记为 $A B$ ，则 $|\mathrm{AB}|=$

4．（5 分）（2016•浙江）命题＂$\forall x \in R, \exists n \in N^{*}$ ，使得 $n \geq x^{2}$＂的否定形式是（）

5．（5 分）（2016•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin ^{2} \mathrm{x}+\mathrm{b} \sin \mathrm{x}+\mathrm{c}$ ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期（ ） A．与 b 有关，且与 c 有关 B 。 与 b 有关，但与 c 无关 C．与 b 无关，且与 c 无关 D．与 b 无关，但与 c 有关

6．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{\mathrm{A}_{\mathrm{n}}\right\} ,\left\{\mathrm{~B}_{\mathrm{n}}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|, A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点P与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则（） 

7．（5 分）（2016•浙江）已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（ ）

8．（5 分）（2016•浙江）已知实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 。（）

9．（4分）（2016•浙江）若抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则 M 到 y 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ．

10．（6 分）（2016 • 浙江）已知 $2 \cos ^{2} \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)+\mathrm{b}(\mathrm{A}>0)$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是 $\mathrm{cm}^{2}$ ，体积是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{3}$ ．  正视图   侧视图 ## 俯视图

12．（6 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\log _{\mathrm{b}} \mathrm{a}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}^{\mathrm{b}}=\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。

14．（4分）（2016•浙江）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}$ ．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 $\mathrm{PD}=\mathrm{DA}, \mathrm{PB}=\mathrm{BA}$ ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 $\_\_\_\_$。 

15．（4分）（2016•浙江）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$ ，若对任意单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ ，均有 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \mid \leq \sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的最大值是

16．（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$ （II）若 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，求角 A 的大小．

17．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ 中，已知平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 ABC ， $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{BE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}=1, \mathrm{BC}=2, \mathrm{AC}=3$ ， （I）求证： $\mathrm{EF} \perp$ 平面 ACFD ； （II）求二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AD}-\mathrm{F}$ 的余弦值。 

18．（15 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a} \geq 3$ ，函数 $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\min \left\{2|\mathrm{x}-1|, \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{ax}+4 \mathrm{a}-2\right\}$ ，其中 min $(\mathrm{p}, \mathrm{q})= \begin{cases}\mathrm{p}, & \mathrm{p} \leqslant \mathrm{q} \\ \mathrm{q}, & \mathrm{p}>\mathrm{q}\end{cases}$ （I）求使得等式 $F(x)=x^{2}-2 a x+4 a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围 （II）（i）求 $F$（ $x$ ）的最小值 $m$（a） （ii）求 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 在 $[0,6]$ 上的最大值 $\mathrm{M}(\mathrm{a})$

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\mathrm{y}^{2}=1 \quad(\mathrm{a}>1)$ （I）求直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 被椭圆截得到的弦长（用 $\mathrm{a}, \mathrm{k}$ 表示） （II）若任意以点 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围． 

20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足 $\left|a_{n}-\frac{a_{n+1}}{2}\right| \leq 1, n \in N^{*}$ 。 （I）求证：$\left|a_{n}\right| \geq 2^{n-1}\left(\left|a_{1}\right|-2\right)\left(n \in N^{*}\right)$ （II）若 $\left|a_{n}\right| \leq\left(\frac{3}{2}\right) n, n \in N^{*}$ ，证明：$\left|a_{n}\right| \leq 2, n \in N^{*}$ 。