2019 天津卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．设集合 $A=\{-1,1,2,3,5\}, B=\{2,3,4\}, C=\{x \in R \mid 1, x<3\}$ ，则 $(A \cap C) \cup B=$

2．设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \leqslant 0, \\ x-y+2 \geqslant 0, \\ x \geqslant-1, \\ y \geqslant-1,\end{array}\right.$ ，则目标函数 $z=-4 x+y$ 的最大值为

3．设 $x \in R$ ，则＂ $0<x<5$＂是＂$|x-1|<1$＂的 A．充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$ 的值为 

5．已知 $a=\log _{2} 7, b=\log _{3} 8, c=0.3^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

6．已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $|A B|=4|O F|$（ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为

7．已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,|\varphi|<\pi)$ 是奇函数，且 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，将 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g(x)$ ．若 $g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则 $f\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=$

8．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 \sqrt{x}, & 0, x, 1, \\ \frac{1}{x}, & x>1 .\end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=-\frac{1}{4} x+a \quad(a \in R)$ 恰有两个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围为

2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 $9 . i$ 是虚数单位，则 $\left|\frac{5-i}{1+i}\right|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $x \in R$ ，使不等式 $3 x^{2}+x-2<0$ 成立的 $x$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

11．曲线 $y=\cos x-\frac{x}{2}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

12．已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 $\_\_\_\_$ ．

13．设 $x>0, y>0, x+2 y=4$ ，则 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{x y}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

14．在四边形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, A B=2 \sqrt{3}, A D=5, \angle A=30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E=B E$ ，则 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$ ． ## 三．

15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位老、中、青员工分别有 $72,108,120$ 人，现采用分层 抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况． （I）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （II）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 $A, B, C, D, E, F$ 。享受情况如右表，其中＂◯＂表示享受，＂$\times$＂表示不享受．现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访． | 员工项目 | A | B | C | D | E | F | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 子女教育 | ◯ | ◯ | × | ◯ | × | ◯ | | 继续教育 | × | × | ◯ | × | ◯ | ◯ | | 大病医疗 | × | × | × | ◯ | × | × | | 住房贷款利息 | ◯ | ○ | × | × | ◯ | ◯ | | 住房租金 | × | × | ◯ | × | × | × | | 赡养老人 | ◯ | ○ | × | × | × | ◯ | （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 $M$ 为事件＂抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同＂，求事件 $M$ 发生的概率．

16．在 $\mathrm{V} A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b+c=2 a, 3 c \sin B=4 a \sin C$ ． （I）求 $\cos B$ 的值； （II）求 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．

17．如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，$\triangle P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C \perp$ 平面 $P C D, P A \perp C D, C D=2, A D=3$ ，  （I）设 $G, H$ 分别为 $P B, A C$ 的中点，求证：$G H / /$ 平面 $P A D$ ； （II）求证：$P A \perp$ 平面 $P C D$ ； （III）求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

18．设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ． （I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$

19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点） （I）求椭圆的离心率； （II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．

20．设函数 $f(x)=\ln x-a(x-1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ ． （I）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）若 $0<a<\frac{1}{e}$ ， （i）证明 $f(x)$ 恰有两个零点 （ii）设 $x$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_{1}$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_{1}>x_{0}$ ，证明 $3 x_{0}-x_{1}>2$ ．