2017 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知全集 $U=R$ ，集合 $A=\{x \mid x<-2$ 或 $x>2\}$ ，则 $C_{U} A=$（）

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）

4．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 3 \\ x+y \geqslant 2, \text { 则 } x+2 y \text { 的最大值为（ ）} \\ y \leqslant x\end{array}\right.$

5．（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

正（主）视图

俯视图

则（左）视图

7．（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \bullet \vec{n}<0$＂的

8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（ ） （参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ）

8． （5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇
宙中普通物质的原子总数N约为10 80，则下列各数中与 最接近的是（　　）
（参考数据：lg3≈0.48）

9．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin \beta=-\frac{1}{3}$ —

10．（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

11．（5 分）已知 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，且 $x+y=1$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ．

12．（5 分）已知点 P 在圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 上，点 A 的坐标为 $(-2,0), \mathrm{O}$ 为原点，则 $\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 6 ．

13．（5 分）能够说明＂设 $a, b, c$ 是任意实数．若 $a>b>c$ ，则 $a+b>c$＂是假命题

的一组整数 $a, b, c$ 的值依次为 $\_\_\_\_$ $-1,-2,-3$ ．

14．（5 分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数。
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 $\_\_\_\_$ 6 ．
②该小组人数的最小值为 $\_\_\_\_$ 12。

15．（13分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=1, a_{2}+a_{4}=10, b_{2} b_{4}=a_{5}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求和： $\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{3}+\mathrm{b}_{5}+\ldots+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}-1}$ ．

16．（13 分）已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)-2 \sin x \cos x$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求证：当 $x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 时，$f(x) \geqslant-\frac{1}{2}$ ．

17．（13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：$[20,30),[30,40), \ldots[80,90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

（I）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；
（II）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间［ 40 ， 50）内的人数；
（III）已知样本中有一半男生的分数不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等。试估计总体中男生和女生人数的比例。

18．（14分）如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp A B, P A \perp B C, A B \perp B C$ ， $P A=A B=B C=2, D$ 为线段 $A C$ 的中点，$E$ 为线段 $P C$ 上一点．
（1）求证：$P A \perp B D$ ；
（2）求证：平面 $\mathrm{BDE} \perp$ 平面 PAC ；
（3）当 $\mathrm{PA} / /$ 平面 BDE 时，求三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{BCD}$ 的体积。

19．（14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 $\mathrm{A}(-2,0), \mathrm{B}(2,0)$ ，焦点在 x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证：$\triangle \mathrm{BDE}$ 与 $\triangle \mathrm{BDN}$ 的面积之比为 4：5．

20．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．