2017 浙江卷 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $\mathrm{P}=\{\mathrm{x} \mid-1<\mathrm{x}<1\}, \mathrm{Q}=\{\mathrm{x} \mid 0<\mathrm{x}<2\}$ ，那么 $\mathrm{P} \cup \mathrm{Q}=$（ ）

2．（5 分）椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的离心率是（ ）

3．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{2}$ ）是

俯视图

5．（5 分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值是 $M$ ，最小值是 $m$ ，则 M－m（ ）

6．（5 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则＂$d>0$＂是＂$S_{4}+S_{6}> 2 \mathrm{~S}_{5}{ }^{\prime \prime}$ 的（ ）

7．（5 分）函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示，则函数 $y=f(x)$ 的图象可能是（ ）

8．（5 分）已知随机变量 $\xi_{\mathrm{i}}$ 满足 $\mathrm{P}\left(\xi_{\mathrm{i}}=1\right)=\mathrm{p}_{\mathrm{i}}, \mathrm{P}\left(\xi_{\mathrm{i}}=0\right)=1-\mathrm{p}_{\mathrm{i}}$ ， $\mathrm{i}=1$ ，2．若 $0< \mathrm{p}_{1}<\mathrm{p}_{2}<\frac{1}{2}$ ，则（ ）

9．（5 分）如图，已知正四面体 $\mathrm{D}-\mathrm{ABC}$（所有棱长均相等的三棱锥）， $\mathrm{P} , \mathrm{Q} , \mathrm{R}$分别为 $A B , B C , C A$ 上的点，$A P=P B, \frac{B Q}{Q C}=\frac{C R}{R A}=2$ ，分别记二面角 $D-P R-Q$ ， $\mathrm{D}-\mathrm{PQ}-\mathrm{R}, \mathrm{D}-\mathrm{QR}-\mathrm{P}$ 的平面角为 $\alpha, \beta, \gamma$ ，则（）

10．（5 分）如图，已知平面四边形 $A B C D, A B \perp B C, A B=B C=A D=2, C D=3, A C$与 BD 交于点 O ，记 $\mathrm{I}_{1}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \mathrm{I}_{2}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \mathrm{I}_{3}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ ，则（ ）

11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的＂割圆术＂可以估算圆周率 $\pi$ ，理论上能把 $\pi$ 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了＂割圆术＂，将 $\pi$ 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，＂割圆术＂的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 $\mathrm{S}_{6}, \mathrm{~S}_{6}=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

12．（6 分）已知 $a , b \in R,(a+b i)^{2}=3+4 i$（ $i$ 是虚数单位），则 $a^{2}+b^{2}=$ $\_\_\_\_$ 5 ，$a b=$
$\_\_\_\_$ 2 ．

14．（6 分）已知 $\triangle A B C, A B=A C=4, B C=2$ ，点 $D$ 为 $A B$ 延长线上一点，$B D=2$ ，连结 CD ，则 $\triangle \mathrm{BDC}$ 的面积是 $-\frac{\sqrt{15}}{2}$ —， $\operatorname{com} \angle \mathrm{BDC}=-\frac{\sqrt{10}}{4}$ 。

15．（6 分）已知向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是
$\_\_\_\_$ ，最大值是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{5}$ ．

16．（4分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 660 种不同的选法。（用数字作答）

17．（4 分）已知 $a \in R$ ，函数 $f(x)=\left|x+\frac{4}{x}-a\right|+a$ 在区间 $[1,4]$ 上的最大值是 5 ，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)$ ．

18．（14 分）已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x(x \in R)$ ．
（I）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值。
（II）求 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间。

19．（15 分）如图，已知四棱锥 $P-A B C D, ~ \triangle P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $\mathrm{BC} / / \mathrm{AD}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \mathrm{PC}=\mathrm{AD}=2 \mathrm{DC}=2 \mathrm{CB}$ ， E 为 PD 的中点。
（ I ）证明： $\mathrm{CE} / /$ 平面 PAB ；
（II）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．

20．（15 分）已知函数 $f(x)=(x-\sqrt{2 x-1}) e^{-x}\left(x \geqslant \frac{1}{2}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的导函数；
（2）求 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上的取值范围．

21．（15 分）如图，已知抛物线 $\mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ，点 $\mathrm{A}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right), \mathrm{B}\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ ，抛物线上的点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\left(-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<\frac{3}{2}\right)$ ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．
（I）求直线 AP 斜率的取值范围；

（II）求 $|P A| \cdot|P Q|$ 的最大值。

22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0<x_{n+1}<x_{n}$ ；
（II） $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$ ；
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．