2017 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）若集合 $A=\{x \mid-2<x<1\}, B=\{x \mid x<-1$ 或 $x>3\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

4．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 3 \\ x+y \geqslant 2, \text { 则 } x+2 y \text { 的最大值为（）} \\ y \leqslant x\end{array}\right.$

5．（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

6．（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \cdot \vec{n}<0$＂的（）

7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

俯视图

8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ）

9．（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

10．（5 分）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=-1, a_{4}=b_{4}=8$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}}=$
$\_\_\_\_$ 1 ．

11．（5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 $\rho^{2}-2 \rho \cos \theta-4 \rho \sin \theta+4=0$ 上，点 P 的坐标为 $(1,0)$ ，则 $|A P|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

12．（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称，若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{7}{9}$ ．

13．（5 分）能够说明＂设 $a, b, c$ 是任意实数．若 $a>b>c$ ，则 $a+b>c$＂是假命题的一组整数 $a, b, c$ 的值依次为 $\_\_\_\_$ $-1,-2,-3$ ．

14．（5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 $\mathrm{B}_{\mathrm{i}}$的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， $\mathrm{i}=1,2,3$ ．
（1）记 $\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}$ 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 $\mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}, \mathrm{Q}_{3}$ 中最大的是 $\mathrm{Q}_{1}$。
（2）记 $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}$ 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$ 中最大的是 $\_\_\_\_$。

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, c=\frac{3}{7} a$ ．
（1）求 $\sin \mathrm{C}$ 的值；
（2）若 $a=7$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

16．（14分）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为正方形，平面 $\mathrm{PAD} \perp$ 平面 ABCD ，点 M 在线段 PB 上， $\mathrm{PD} / /$ 平面 $\mathrm{MAC}, \mathrm{PA}=\mathrm{PD}=\sqrt{6}, \mathrm{AB}=4$ ．
（1）求证：$M$ 为 $P B$ 的中点；
（2）求二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{PD}-\mathrm{A}$ 的大小；
（3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．

17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据，并制成如图，其中＂＊＂表示服药者，＂＋＂表示未服药者．
（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 $\xi$ 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ；
（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小。（只需写出结论）

18．（14 分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 过点 $P(1,1)$ ．过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 作直线 $l$ 与抛物线 C 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 $\mathrm{OP} , \mathrm{ON}$ 交于点 $A$ ，$B$ ，其中 $O$ 为原点。
（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：$A$ 为线段 $B M$ 的中点．

19．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

20．（13 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，记 $c_{n}=\max \left\{b_{1}-a_{1} n, b_{2}-a_{2} n, \ldots\right.$ ， $\left.b_{n}-a_{n} n\right\} ~(n=1,2,3, \ldots) ~$ 其中 $\max \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right\}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ 这 $s$个数中最大的数．
（1）若 $a_{n}=n, b_{n}=2 n-1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m+1}, c_{m+2}, \ldots$ 是等差数列。