2012 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．集合 $M=\{x \mid \lg x>0\}, ~ N=\left\{x \mid x^{2} \leq 4\right\}$ ，则 $M \cap N=$（ C ） A $(1,2)$ B $[1,2)$ c（1，2］ D $[1,2]$

2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A $y=x+1$ ． B $y=-x^{2}$ C $y=\frac{1}{x}$ D $y=x|x|$

3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 

4．设 $a, b \in R, i$ 是虚数单位，则＂$a b=0$＂是＂复数 $a+\frac{b}{i}$ 为纯虚数＂的（ $\quad \mathrm{B} \quad$ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 －D 既不充分也不必要条件

5．下图是计算某年级 500 名学生期末考试（满分为 100 分）及格率 q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） A． $\mathrm{q}=\cos \left\{\sqrt{5 C \mathrm{~B}_{1} \perp B \mathrm{~A}_{1} 2-+b^{2}}\right\} \quad \vec{b} C_{1} \angle C A B|f(1)| \leq 1 \frac{N}{M}$ $\mathrm{B} \mathrm{q}=\frac{M}{N}$ $\mathrm{c} \mathrm{q}=\frac{N}{M+N}$ D． $\mathrm{q}=\frac{M}{M+N}$

6．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x=0, l$ 过点 $P(3,0)$ 的直线，则 $\mathrm{A} l$ 与 $C$ 相交 B $l$ 与 $C$ 相切 Cl 与 $C$ 相离 D．以上三个选项均有可能

7．设向量 $\vec{a}=(1 \cdot \cos \theta)$ 与 $\vec{b}=(-1,2 \cos \theta)$ 垂直，则 $\cos 2 \theta$ 等于（ c$)$ A．$\frac{\sqrt{2}}{2}$ B $\frac{1}{2}$ C ． 0 D．-1

8．将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（B）  目1  552 

9．设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{x}+\ln \mathrm{x}$ 则 D

10．小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 $\mathrm{b} ~(\mathrm{a}<\mathrm{b}) ~$ ，其全程的平均时速为 v ，则（ A ）

11．设函数发 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}, x \geq 0 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x}, x<0\end{array}\right.$ ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{f}(-4))=\underline{4}$

12. 观察下列不等式 $1+\frac{1}{2^{2}}<\frac{3}{2}$ ． $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}<\frac{5}{3} \quad$, $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}<\frac{7}{4}$

13．在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的长分别为 $a, b, c$ ，若 $a=2, B=\frac{\pi}{6}, c=2 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{b}=2$

14．右图是抛物线形拱桥，当水面在 $l$ 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 □ $2 \sqrt{6}$米。 

15．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}=-\frac{1}{2}$ ． （1）若 $a_{3}=\frac{1}{4}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和； （II）证明：对任意 $k \in N_{+}, \boldsymbol{a}_{k}, \boldsymbol{a}_{k+2}, \boldsymbol{a}_{k+1}$ 成等差数列

17．（本小题满分 12 分） 函数 $f(x)=A \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)+1 ~(A>0, \omega>0) ~$ 的最大值为 3 ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ， （1）求函数 $f(x)$ 的解析式； ②设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2$ ，求 $\alpha$ 的值

18．（本小题满分 12 分） 直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{A} \mathrm{A}_{1}, \angle C A B=\frac{\pi}{2}$  （ I ）证明 $C \mathrm{~B}_{1} \perp B \mathrm{~A}_{1}$ ； （II）已知 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{5}$ ，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-A B \mathrm{~A}_{1}$ 的体积

19．（本小题满分 12 分） 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两 种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如下：   （I）估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率； （II）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率

20．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ，椭圆 $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。 （1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程； ②设 O 为坐标原点，点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程

21．（本小题满分 14 分） 设函数 $f_{n}(x)=x^{n}+b x+c \quad\left(n \in N_{+}, b, c \in R\right)$ ①设 $n \geq 2, b=1, c=-1$ ，证明：$f_{n}(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内存在唯一的．零．点； ②设 n 为偶数，$|f(-1)| \leq 1,|f(1)| \leq 1$ ，求 $\mathrm{b}+3 \mathrm{c}$ 的最小值和最大值； ③设 $n=2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in[-1,1]$ ，有 $\left|f_{2}\left(x_{1}\right)-f_{2}\left(x_{2}\right)\right| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；