2013 新课标 II 卷 数学

（5分） $| \frac { 2 } { 1 + \mathrm { i } } | =$ （ ）A $2 \sqrt { 2 }$ B．2 C $\sqrt { 2 }$ D．1

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } \mathbf { - y } + 1 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } \mathbf { + y } \mathbf { + 1 } \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } \leqslant 3 } \end{array} \right.$ ，则 $\scriptstyle 2 = 2 x \ - \ 3 y$ 的最小值是（　　）

（5分） $\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2， $B = \frac { \pi } { 6 }$ ，C=$\frac { \pi } { 4 }$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为（　　）A $2 \sqrt { 3 } + 2$ B $\sqrt { 3 } + 1$ C $2 \sqrt { 3 } - 2$ D． ${ \sqrt { 3 } } - 1$

（5分）设椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 ${ \sf I F } _ { 1 }$ 、 $\mathsf { F } _ { 2 } ;$ ，P是C上的点 $\mathsf { P F } _ { 2 } \bot \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 }$ $\angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = 3 0 ^ { \circ }$ ，则C的离心率为（　　）A $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac { 1 } { 2 }$ D $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

（5分）已知 $\sin 2 \alpha = \frac { 2 } { 3 }$ ，则 $\cos ^ { 2 } ( a + \frac { \pi } { 4 } ) =$ （ ）A $\frac { 1 } { 6 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac { 1 } { 2 }$ D $\frac { 2 } { 3 }$

（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（　　）

A $\displaystyle { \frac { 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } } { 2 } }$

B $1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 \times 2 } + \frac { 1 } { 4 \times 3 \times 2 }$

C $\frac { 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 5 } } { 2 }$

D $1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 \times 2 } + \frac { 1 } { 4 \times 3 \times 2 } + \frac { 1 } { 5 \times 4 \times 3 \times 2 }$

（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $0 - { \mathsf { x y z } } \oplus { \mathsf { z } }$ 的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 ${ \tt z O x }$ 平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）

A

B

C

D

（5分）设抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|A $F \vert = 3 \vert B F \vert$ ，则l的方程为（　　） A $\mathsf { y } = \mathsf { x } - 1 \varinjlim \gamma = - \mathsf { x } + 1$ B $v = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ( x - 1 )$ ）或
$\mathsf { y } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ( \mathsf { x } - 1 )$ C $\mathsf { y } = \sqrt { 3 } \ \left( \mathsf { x } - 1 \right)$ 或 $\mathsf { y } = - \sqrt { 3 } ( \mathsf { x } - 1 )$ D $\mathsf { y } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \ \left( \mathsf { x } - 1 \right)$ ）或
$\forall = - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ( \mathbf { x } - 1 )$

（5分）若存在正数x使2^x $( \textsf { x - a } ) \ < 1$ 成立，则a的取值范围是（　　）A $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } + \infty )$ B $( \mathbf { \partial } - 2 , \mathbf { \partial } + \infty )$ C．（ $( 0 , \ + \infty )$ D $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } 1 , \mathrm { ~ \ } + \infty \mathrm { ) }$

（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是

0.2

（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 $\overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { B D } = 2$

（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为 $\frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 }$ ，底面边长为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π

（12分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公差不为零， $\mathtt { a } _ { 1 } = 2 5$ ，且 $\mathsf { a } _ { 1 } , \mathsf { a } _ { 1 1 } , \mathsf { a } _ { 1 3 }$ 成等比数 列

（Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求 $\mathtt { a } _ { 1 } { } ^ { + } \mathtt { a } _ { 4 } { } ^ { + } \mathtt { a } _ { 7 } { } ^ { + } . . . { } ^ { + } \mathtt { a } _ { 3 \mathsf { n } } - 2$

【选修4﹣1几何证明选讲】

如图，CD为 $\triangle \mathsf { A B C } .$ 外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且 ${ \mathsf { B C } } \bullet { \mathsf { A E } } = { \mathsf { D C } } \bullet { \mathsf { A F } }$ ，B、E、F、C四点共圆

（1）证明：CA是 $\triangle \mathsf { A B C }$ 外接圆的直径；

（2）若 $D B = B E = E A$ ，求过B、E、F、C四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值