2015 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

16．已知函数 $f(x)=(\sin x+\cos x)^{2}+\cos 2 x$

（I）求 $f(x)$ 最小正周期；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40,50],[50,60], \cdots,[80,90],[90,100]$
（I）求频率分布图中 $a$ 的值；
（II）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（III）从评分在 $[40,60]$ 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 $[40,50]$ 的概率．

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．如图，三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=1, A B=1, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}$ ．
（I）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积；
（II）证明：在线段 $P C_{\mathrm{s}}$ 上存在点 $M$ ，使得 $A C \perp B M$ ，并求 $\frac{P M}{M C}$ 的值．

第（19）题图

20．设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为（ 0 ，
$b)$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 $E$ 的离心率 $e$ ；
（II）设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b), N$ 为线段 $A C$ 的中点，证明：$M N \perp A B$ ．

21．已知函数 $f(x)=\frac{a x}{(x+r)^{2}}(a>0, r>0)$
（I）求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $\frac{a}{r}=400$ ，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的极值．