2008 浙江卷 · 理 数学

在同一平面直角坐标系中，函数 $y=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3 \pi}{2}\right)(x \in[0,2 \pi])$ 的图象和直线 $y=\frac{1}{2}$ 的交点个数是

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=$

若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3: 2$ ，则双曲线的离心率是

若 $\cos a+2 \sin a=-\sqrt{5}$ ，则 $\tan a=$

已知 $a, \mathrm{~b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $c$ 满足 $(a-c) \cdot(b-c)=0$ ，则 $|c|$

的最大值是

如图， AB 是平面 $a$ 的斜线段， A 为斜足，若点 P 在平面 $a$ 内运动，使得 $\triangle \mathrm{ABP}$ 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是

已知 $a>0$ ，若平面内三点 $\mathrm{A}(1,-a), \mathrm{B}\left(2, a^{2}\right), \mathrm{C}\left(3, a^{3}\right)$ 共线，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

已知 $F_{1} , F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点若 $\left|F_{2} A\right|+\left|F_{2} B\right|=12$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$。

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $a , \mathrm{~b} , \mathrm{c}$ ，若 $(\sqrt{3} b-c) \cos A=a \cos C$ ，则 $\cos A=$ $\_\_\_\_$。

如图，已知球 O 点面上四点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{D}, \mathrm{DA} \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, D A=A B=B C=\sqrt{3}$ ，则球 $O$ 点体积等于 $\_\_\_\_$。

已知 $t$ 为常数，函数 $y=\left|x^{2}-2 x-t\right|$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值为 2 ，则 $\mathrm{t}=$ $\_\_\_\_$。

用 $1,2,3,4,5,6$ 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

若 $a \geq 0, b \geq 0$ ，且当 $\left\{\begin{array}{c}x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ x+y \leq 1\end{array}\right.$ 时，恒有 $a x+b y \leq 1$ ，则以 $a, \mathrm{~b}$ 为坐标点 $\mathrm{P}(a$ ，
b）所形成的平面区域的面积等于 $\_\_\_\_$。

（本题 14 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互
相垂直， $\mathrm{BE} / / \mathrm{CF}, \angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{CEF}=90^{\circ}, \mathrm{AD}=\sqrt{3}, \mathrm{EF}=2$ 。
（I）求证： $\mathrm{AE} / /$ 平面 DCF ；
（II）当 AB 的长为何值时，二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？

（第18题）

（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。
（I）若袋中共有 10 个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 $\xi$ ，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E \xi$ 。
（II）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$ 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

（本题 14 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{n} \geq 0, a_{1}=0, a_{n+1}^{2}+a_{n+1}-1=a_{n}^{2}\left(n \in N^{\bullet}\right)$ ．记

$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} . T_{n}=\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)} . $

求证：当 $n \in N^{\bullet}$ 时，
（ I ）$a_{n}<a_{n+1}$ ；
（II）$S_{n}>n-2$ ；
（III）$T_{n}<3$ 。