2011 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： $[11.5,15.5) 2[15.5,19.5) 4[19.5,23.5) 9[23.5,27.5) 18[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5 .39 .5) 7[39.5,43.5) 3$ 根据样本的频率分布估计，数据落在 ［31．5，43．5）的概率约是

2．复数 $-i+\frac{1}{i}=$

3．$l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A）$l_{1} \perp l_{2}, \quad l_{2} \perp l_{3} \Rightarrow l_{1} \| l_{3}$ （B）$l_{1} \perp l_{2}, \quad l_{2} \| l_{3} \Rightarrow l_{1} \perp l_{3}$ （C）$l_{2}\left\|l_{3}\right\| l_{3} \Rightarrow l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 共面 （D）$l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 共点 $\Rightarrow l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 共面 4 如图，正六边形 ABCDEF 中， $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E F}=$  （A） 0 （B） $\overrightarrow{B E}$ （C） $\overrightarrow{A D}$ （D） $\overrightarrow{C F}$ 5 函数，$f(x)$ 在点 $x=x_{0}$ 处有定义是 $f(x)$ 在点 $x=x_{0}$ 处连续的

6．在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中． $\sin ^{2} \leq \sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin B \sin C$ ．则 A 的取值范围是

7．已知 $f(x)$ 是 R 上的奇函数，且当 $x \succ 0$ 时，$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$ ，则 $f(x)$ 的反函数的图像大致是 

8．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $3,\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列且 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ．若则 $b_{3}=-2$ ， $b_{10}=12$ ，则 $a_{8}=$

9．某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车。某天需运往 $A$ 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次。拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车虚配 1名工人，运送一次可得利润 350 元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润

10．在抛物线 $y=x^{2}=a x-5(a \neq 0)$ 上取横坐标为 $x_{1}=-4, x_{2}=2$ 的两点，过这两点引条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5 x^{2}+5 y^{2}=36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为

11．已知定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=3 f(x+2)$ ，当 $x \in[0,2)$ 时， $f(x)=-x^{2}+2 x$ ．设 $f(x)$ 在 $[2 n-2,2 n)$ 上的最大值为 $a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=$

13．计算 $\left(\lg \frac{1}{4}-\lg 25\right) \div 100^{-\frac{1}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{64}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{36}=1$ 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4 ，那么点 P 到左准线的距离是 $\_\_\_\_$。

15．如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 $\_\_\_\_$。

16．函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数．下列命题：  （1）函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 是单函数； （2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ 且 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，则 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right) \neq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ； （3）若 $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 为单函数，则对于任意 $\mathrm{b} \in \mathrm{B}$ ，它至多有一个原象； （4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在某区间上具有单调性，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 一定是单函数． 其中的真命题是 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

17．已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{7 \pi}{4}\right)+\cos \left(x-\frac{3 \pi}{4}\right), x \in \mathrm{R}$ ． （1）求函数的最小正周期和最小值； （2）已知 $\cos (\beta-\alpha)=\frac{4}{5}, \cos (\beta+\alpha)=-\frac{4}{5}, 0<\alpha<\beta \leq \frac{\pi}{2}$ ．求证：$[f(\beta)]^{2}-2=0$ ．

18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； ②设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ ．

19．（本小题共 12 分） 如图，在直三棱柱 $A B-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中．$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=A A_{1}=1 . D$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一 P 是 AD 的延长线与 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的延长线的交点，且 $\mathrm{PB}_{1} / /$ 平面 BDA ． （I）求证： $\mathrm{CD}=\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}$ ： （II）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}-\mathrm{B}$ 的平面角的余弦值； （III）求点 C 到平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DP}$ 的距离。 

20．（本小题共 12 分） 设 $d$ 为非零实数，$a_{n}=\frac{1}{n}\left[C_{n}^{1} d+2 C_{n}^{2} d^{2}+\cdots+(n-1) C_{n}^{n-1} d^{n-1}+n C_{n}^{n} d_{n}^{n}\right]\left(n \in N^{*}\right)$ 。 （I）写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 并判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； （II）设 $b_{n}=n d a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

21．（本小题共 12 分） 椭圆有两顶点 $\mathrm{A}(-1,0) , \mathrm{~B}(1,0)$ ，过其焦点 $\mathrm{F}(0,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 两点，并与 x 轴交于点 P 。直线 AC 与直线 BD 交于点 Q 。 （I）当 $|\mathrm{CD}|=\frac{3}{2} \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程； （II）当点 P 异于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点时，求证： $\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}$ 为定值。 → → 

22．（本小题共 14 分） 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{3} \mathrm{x}+\frac{1}{2}, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\sqrt{x}$ ． （I）设函数 $F(x)=f(x)-h(x)$ ，求 $F(x)$ 的单调区间与极值； （II）设 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，解关于 x 的方程 $\log _{4}\left[\frac{3}{2} f(x-1)-\frac{3}{4}\right]=\log _{2} \mathrm{~h}(\mathrm{a}-\mathrm{x})-\log _{2} \mathrm{~h}(4-\mathrm{x})$ ； （III）试比较 $f(100) h(100)-\sum_{k=1}^{100} h(k)$ 与 $\frac{1}{6}$ 的大小．