2013 浙江卷 · 文 数学

（5 分）（2013 • 浙江）若 $\alpha \in R$ ，则＂$\alpha=0$＂是＂ $\sin \alpha<\cos \alpha$＂的

（5 分）（2013•浙江）设 $\mathrm{m} , \mathrm{n}$ 是两条不同的直线，$\alpha , \beta$ 是两个不同的平面，

（5 分）（2013•浙江）函数 $f(x)=\sin x \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ 的最小正周期和振幅分别是（ ）

（5 分）（2013•浙江）已知 $\mathrm{a} , \mathrm{~b} , \mathrm{c} \in \mathrm{R}$ ，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a} \mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ ．若 $\mathrm{f}(0)=\mathrm{f}(4)>\mathrm{f}(1)$ ，则（）

（5 分）（2013•浙江）如图 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 与双曲线 $C 2$ 的公共焦点 $A , B$ 分别是 $C_{1} , C_{2}$ 在第二、四象限的公共点，若四边形 $\mathrm{AF}_{1} \mathrm{BF}_{2}$ 为矩形，则 $\mathrm{C}_{2}$ 的离心率是（）

（4分）（2013 •浙江）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}-1}$ ，若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=3$ ，则实数 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 10 ．

（4 分）（2013•浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则 2 名都是女同学的概率等于 $\_\_\_\_$ $-\frac{1}{5}$ ．

（4分）（2013•浙江）直线 $y=2 x+3$ 被圆 $x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0$ 所截得的弦长等于 $\_\_\_\_$ $4 \sqrt{5}$ ．

（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 $-\frac{9}{5}$ ．

（4 分）（2013•浙江）设 $z=k x+y$ ，其中实数 $x , y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 2 \\ x-2 y+4 \geqslant 0 \\ 2 x-y-4 \leqslant 0\end{array}\right.$ 若 $z$ 的最大值为 12 ，则实数 $k=\underline{2}$ 。

（4分）（2013•浙江）设 $a, b \in R$ ，若 $x \geq 0$ 时恒有 $0 \leq x^{4}-x^{3}+a x+b \leq\left(x^{2}-1\right)^{2}$ ，则 $a b$ 等于 $\_\_\_\_$ － 1。

（14分）（2013•浙江）在锐角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，且 $2 \mathrm{asinB}=\sqrt{3} \mathrm{~b}$ 。
（I）求角 A 的大小；
（II）若 $a=6, b+c=8$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（I）利用正弦定理化简已知等式，求出 $\sin \mathrm{A}$ 的值，由 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数；
（II）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}+\mathrm{c}$ 及 $\cos \mathrm{A}$ 的值代入求出 bc 的值，再由 $\sin \mathrm{A}$ 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积。

（14分）（2013•浙江）在公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $a_{1}=10$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2}+2,5 a_{3}$ 成等比数列．
（I）求 $\mathrm{d}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ；
（II）若 $\mathrm{d}<0$ ，求 $\left|\mathrm{a}_{1}\right|+\left|\mathrm{a}_{2}\right|+\left|\mathrm{a}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right|$ ．

考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．

分析：（I）直接由已知条件 $a_{1}=10$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2}+2,5 a_{3}$ 成等比数列列式求出公差，则通项公式 $a_{n}$ 可求；
（II）利用（I）中的结论，得到等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 11 项大于等于 0 ，后面的项小于 0 ，所以分类讨论求 $d <0$ 时 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|$ 的和。

（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{PA} \perp$ 面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \mathrm{AD}=\mathrm{CD}=\sqrt{7}, \mathrm{PA}=\sqrt{3}$ ， $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{G}$ 为线段 PC 上的点．
（I）证明： $\mathrm{BD} \perp$ 面 PAC ；
（II）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 PAC 所成的角的正切值；
（III）若 G 满足 $\mathrm{PC} \perp$ 面 BGD ，求 $\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{GC}}$ 的值。

考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
专题：空间位置关系与距离；空间角。
分析：（ I ）由 $\mathrm{PA} \perp$ 面 ABCD ，可得 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$ ；设 AC 与 BD 的交点为 O ，则由条件可得 BD 是 AC 的中垂线，故 O 为 AC 的中点，且 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ ．再利用直线和平面垂直的判定定理证得 $\mathrm{BD} \perp$ 面 PAC ．
（II）由三角形的中位线性质以及条件证明 $\angle \mathrm{DGO}$ 为 DG 与平面 PAC 所成的角，求出 GO 和 AC 的值，可得 $O C , O D$ 的值，再利用直角三角形中的边角关系求得 $\tan \angle D G O$ 的值。

（III）先证 $\mathrm{PC} \mathrm{\perp OG}$ ，且 $\mathrm{PC}=\sqrt{\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{15}$ ．由 $\triangle \mathrm{COG} \sim \triangle \mathrm{PCA}$ ，可得 $\frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{PC}}$ ，解得 GC 的值，可得 $P G=P C-G C$ 的值，从而求得 $\frac{P G}{G C}$ 的值。

（14 分）（2013•浙江）已知抛物线 C 的顶点为 $\mathrm{O}(0,0)$ ，焦点 $\mathrm{F}(0,1)$
（I）求抛物线 C 的方程；
（II）过 $F$ 作直线交抛物线于 $A , B$ 两点．若直线 $O A , O B$ 分别交直线 $1: y=x-2$ 于 $M , N$ 两点，求 $|M N|$ 的最小值。

考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点 $\mathrm{F}(0,1)$ 可直接求得 p ，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
（II）由题意，可 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $A B$ 的方程为 $y=k x+1$ ，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出 $|\mathrm{MN}|$ ，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．