2015 新课标 II 卷 数学

（5分）若为a实数，且 $\frac { 2 + a i } { 1 + i } = 3 + i$ ，则a=（　　）

（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　）

（5分） $\stackrel { } { \mathsf { a } } = ( 1 , \quad - 1 )$ $\overrightarrow { b } = ( - 1 , 2 )$ 则 $( 2 \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } ) \cdot \overrightarrow { a } =$ （ ）

（5分）已知 $\lvert S _ { \mathfrak { n } }$ 是等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和，若 $\mathtt { a } _ { 1 } + \mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 5 } = 3$ ，则 $\mathsf { S } _ { 5 } \mathsf { = }$ （ ）

（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）

A $\frac { 1 } { 8 }$ B $\frac { 1 } { 7 }$ C $\frac { 1 } { 6 }$ D $\frac { 1 } { 5 }$

（5分）已知三点A（1，0）， $\textsf { \textsf { B } } ( 0 , \sqrt { 3 } )$ ，C（2， $\sqrt { 3 } )$ 则 $\triangle A B C$ 外接圆的圆心到原点的距离为（　　）A $\frac { 5 } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 2 1 } } { 3 }$ C $\frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 3 }$ D $\frac { 4 } { 3 }$

（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的$a=$（）

（5分）已知等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $\mathtt { a } _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 }$ $\mathtt { a } _ { 3 } \mathtt { a } _ { 5 } = 4 ( \mathtt { a } _ { 4 } - 1 )$ ，则 $\mathtt { a } _ { 2 } =$ ） A．2 B．1 C $\frac { 1 } { 2 }$ D $\frac { 1 } { 8 }$

（5分）已知A，B是球O的球面上两点， $\angle A O B = 9 0 ^ { \circ }$ ，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）

（5分）设函数f $( \textsf { x } ) = \ln ( 1 + | \textsf { x } | ) - \frac { 1 } { 1 + \textsf { x } ^ { 2 } }$ ，则使得f $( \mathsf { x } ) > \mathsf { f } \ ( 2 \mathsf { x } - 1 )$ 成立的x的取值范围是（　　）
A $( ~ - ~ \infty , ~ \frac { 1 } { 3 } ) ~ \cup ~ ( ~ 1 , ~ + \infty )$ B $( { \frac { 1 } { 3 } } , \ 1 )$
C． $( \mathbf { \partial } _ { \frac { 1 } { 3 } } , \mathbf { \partial } _ { 3 } )$ D $( \mathbf { \nabla } - \infty , \mathbf { \nabla } - \frac { 1 } { 3 }$ ，） $( { \frac { 1 } { 3 } } , \ + \infty )$

（3分）已知函数f $( \mathsf { x } ) \mathsf { \Omega } = \mathsf { a x } ^ { 3 } - 2 \mathsf { x }$ 的图象过点（﹣1，4）则 $a = - 2$

（3分）已知曲线 $y = x + 1 n x$ 在点（1，1）处的切线与曲线 $y = a x ^ { 2 } + ( a + 2 ) x + 1$ 相切，则 $\mathtt { a } = \ 8$

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

4地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>满意度评分分组</td><td rowspan=1 colspan=1>[50，60）</td><td rowspan=1 colspan=1>[60，70)</td><td rowspan=1 colspan=1>[70，80）</td><td rowspan=1 colspan=1>[80，90）</td><td rowspan=1 colspan=1>[90，100)</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>频数</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>14</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td></tr></table>

（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>满意度评分</td><td rowspan=1 colspan=1>低于70分</td><td rowspan=1 colspan=1>70分到89分</td><td rowspan=1 colspan=1>不低于90分</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>满意度等级</td><td rowspan=1 colspan=1>不满意</td><td rowspan=1 colspan=1>满意</td><td rowspan=1 colspan=1>非常满意</td></tr></table>

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由

（12分）如图，长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { H }$ ，AB=16，BC=10， $\mathsf { A A } _ { 1 } { = } 8$ ，点E，F分别在 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } , \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 上， $\mathsf { A } _ { 1 } E { = } \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { F } { = } 4$ ．过E，F的平面 ${ \bf { \dot { a } } } .$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）

（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值

（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点， $\odot 0$ 与 $\triangle A B C$ 的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且 $A E = M N = 2 \sqrt { 3 }$ ，求四边形EBCF的面积

（10分）在直角坐标系 $\mathsf { x O y } ^ { \mathsf { I } }$ 中，曲线 $\mathsf { C } _ { 1 }$ ： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \mathsf { t c o s } \mathbb { G } } \\ { \mathbf { y } = \mathsf { t s i n } \mathbb { G } } \end{array} \right.$ （t为参数， $\mathsf { t } \neq 0 )$ ，其中 $1 0 { \le } \alpha { \le } \pi$ ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\begin{array} { r l } { \mathsf { \Gamma } ( _ { 2 } \colon } & { { } \mathsf { p } = 2 \mathsf { s i n } \mathsf { \Theta } ) } \end{array}$ $\mathsf C _ { 3 } \colon \mathsf \rho = 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \Theta$

（1）求 $\mathsf { C } _ { 2 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 交点的直角坐标；

（2）若 $\mathsf C _ { 1 }$ 与 $\mathsf C _ { 2 }$ 相交于点A， $\mathsf C _ { 1 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 相交于点B，求 $\left| \mathsf { A B } \right|$ 的最大值