2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．复数 $z=(3-2 i) i$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 等于

2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
$A$ ．圆柱
$B$ ．圆锥
$C$ ．四面：体
D．三棱柱

3．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=2, S_{3}=12$ ，则 $a_{6}=$

4．若函数 $y=\log _{a} x(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是

A

B

C

D

5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 $S$ 得值等于

6．直线 $l: y=k x+1$ 与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于 $A, B$ 两点，则＂$k=1$＂是＂$\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{1}{2}$＂的（ ）

7．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1, & x>0 \\ \cos x, & x \leq 0\end{array}\right.$ 则下列结论正确的是（ ）

8．在下列向量组中，可以把向量 $\vec{a}=(3,2)$ 表示出来的是
A． $\overrightarrow{e_{1}}=(0,0), \overrightarrow{e_{2}}=(1,2)$
B $\cdot \overrightarrow{e_{1}}=(-1,2), \overrightarrow{e_{2}}=(5,-2)$
C． $\overrightarrow{e_{1}}=(3,5), \overrightarrow{e_{2}}=(6,10)$
D． $\overrightarrow{e_{1}}=(2,-3), \overrightarrow{e_{2}}=(-2,3)$

9．设 $P, Q$ 分别为 $x^{2}+(y-6)^{2}=2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$ 上的点，则 $P, Q$ 两点间的最大距离是（ ）

10．用 $a$ 代表红球，$b$ 代表蓝球，$c$ 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 $(1+a)(1+b)$ 的展开式 $1+a+b+a b$ 表示出来，如：＂ 1 ＂表示一个球都不取、＂$a$＂表示取出一个红球，面＂$a b$＂用表示把红球和篮球都取出来。以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、 5 个无区别的蓝球、 5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是

11．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \leq 0 \\ x+2 y-8 \leq 0 \\ x \geq 0\end{array}\right.$ 则 $z=3 x+y$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

12．在 $\triangle A B C$ 中，$A=60^{\circ}, A C=4, B C=2 \sqrt{3}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ ．

14．如图，在边长为 $e$（ $e$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 $\_\_\_\_$。

15．若集合 $\{a, b, c, d\}=\{1,2,3,4\}$ ，且下列四个关系：
①$a=1$ ；②$b \neq 1$ ；③$c=2$ ；④$d \neq 4$ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 $(a, b, c, d)$ 的个数是 $\_\_\_\_$。

16．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\cos x(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}$ ．
（1）若 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $f(\alpha)$ 的值；
（2）求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间．

19．（本小题满分 13 分）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}: y=2 x, l_{2}: y=-2 x$.
（1）求双曲线 $E$ 的离心率；
（2）如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_{1}, l_{2}$ 于 $A, B$ 两点 $(A, B$ 分别在第一，四象限），且 $\triangle O A B$ 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由．