2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．复平面内表示复数 $i(1-2 i)$ 的点位于（

2．对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$，下列说法一定正确的是
A．$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列
B．$a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列
$C . a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列
$D . a_{3}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列

3．已知变量 $x$ 与 $y$ 正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}=3, \bar{y}=3.5$ ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（
$A . \hat{y}=0.4 x+2.3$
B．$\hat{y}=2 x-2.4$
$C . \hat{y}=-2 x+9.5$
$C . \hat{y}=-0.3 x+4.4$

4．已知向量 $\vec{a}=(k, 3), \vec{b}=(1,4), \vec{c}=(2,1)$ ，且 $(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \perp \vec{c}$ ，则实数 $k=$（ ）

5．执行如题（5）图所示的程序框图，若输出 $k$ 的值为 6 ，则判断框内可填入的条件是

6．已知命题 $p$：对任意 $x \in R$，总有 $2^{x}>0 ; q:$＂$x>1$＂是＂$x>2$＂的充分不必要条件则下列命题为真命题的是
A．$p \wedge q$
B．$\neg p \wedge \neg q$
$C . \neg p \wedge q$
D．$p \wedge \neg q$

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

正视齐

左嵊图

施杪图

8．设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3 b,\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=\frac{9}{4} a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

9．某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是

10．已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $\sin 2 A+\sin (A-B+C)=\sin (C-A-B)+\frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，记 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

11．设全集 $U=\{n \in N \mid 1 \leq n \leq 10\}, A=\{1,2,3,5,8\}, B=\{1,3,5,7,9\}$ ，则 $($ đ $A) \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

12．函数 $f(x)=\log _{2} \sqrt{x} \cdot \log _{\sqrt{2}}(2 x)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知直线 $a x+y-2=0$ 与圆心为 $C$ 的圆 $(x-1)^{2}+(y-a)^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B C$ 为等边三角形，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

14．过圆外一点 $P$ 作圆的切线 $P A$（ $A$ 为切点），再作割线 $P B C$ 分别交圆于 $B , C$ ，若 $P A=6$ ， $A C=8, B C=9$ ，则 $A B=$

15．已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=3+t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho \sin ^{2} \theta-4 \cos \theta=0(\rho \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi)$ ，则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的公共点的极径 $\rho=$

16．若不等式 $|2 x-1|+|x+2| \geq a^{2}+\frac{1}{2} a+2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 $\pi$．
（I）求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值；
（II）若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}\right)$，求 $\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的值．

18．（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3 ，从盒中任取 3 张卡片．
（I）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
（II）$X$ 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望．
（注：若三个数 $a, b, c$ 满足 $a \leq b \leq c$ ，则称 $b$ 为这三个数的中位数）．

19．（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
如题（19）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}, M P \perp A P$．
（I）求 $P O$ 的长；
（II）求二面角 $A-P M-C$ 的正弦值．

题（19）图

20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 3 分，（III）小问 5 分）

已知函数 $f(x)=a e^{2 x}-b e^{-2 x}-c x(a, b, c \in R)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线的斜率为 $4-c$．
（I）确定 $a, b$ 的值；
（II）若 $c=3$，判断 $f(x)$ 的单调性；
（III）若 $f(x)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围．

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上，
$D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．

题（21）图

22．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}-2 a_{n}+2}+b\left(n \in N^{*}\right)$
（I）若 $b=1$，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b=-1$，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n}<c<a_{2 n+1}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 成立？证明你的结论．