2014 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）若集合 $\mathrm{A}=\{0,1,2,4\}, \mathrm{B}=\{1,2,3\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$
A．$\{0,1,2,3,4\}$
B．$\{0,4\}$
C．$\{1,2\}$
D ．
\｛3\}

2．（5 分）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是

3．（5 分）已知向量 $\vec{a}=(2,4), \vec{b}=(-1,1)$ ，则 $2 \vec{a}-\vec{b}=$（）

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）

5．（5 分）设 $a, b$ 是实数，则＂$a>b$＂是＂$a{ }^{2}>b^{2}$＂的

6．（5 分）已知函数 $f(x)=\frac{6}{x}-\log _{2} x$ ，在下列区间中，包含 $f(x)$ 零点的区间是

7．（5 分）已知圆 $\mathrm{C}:(\mathrm{x}-3)^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 和两点 $\mathrm{A}(-\mathrm{m}, 0), \mathrm{B}(\mathrm{m}, 0)(\mathrm{m} >0$ ），若圆 C 上存在点 P ，使得 $\angle A P B=90^{\circ}$ ，则 m 的最大值为（）

8．（5 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为＂可食用率＂，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系 $p=a t^{2}+b t+c$（a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

9．（ 5 分）若 $(x+i) i=-1+2 i(x \in R)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

10．（5 分）设双曲线 C 的两个焦点为 $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0)$ ，一个顶点是（ 1 ， $0)$ ，则 C 的方程为 $\_\_\_\_$ $x^{2}-y^{2}=1$ ．

11．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

侧（左）视图

12．（ 5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2, \cos \mathrm{C}=\frac{1}{4}$ ，则 $\mathrm{c}=$ $\_\_\_\_$ 2 ； $\sin \mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{15}}{8}$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 1 \\ x-y-1 \leqslant 0 \text { ，则 } z=\sqrt{3} x+y \text { 的最小值为 } \\ x+y-1 \geqslant 0\end{array}\right.$ $\_\_\_\_$ 1 ．

14．（5 分）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日）如下：

则最短交货期为 $\_\_\_\_$ 42个工作日。

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=4$ ， $b_{4}=20$ ，且 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 为等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（13 分）函数 $f(x)=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的部分图象如图所示．
（I）写出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期及图中 $\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{12}\right]$ 上的最大值和最小值．

17．（14 分）如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面，$A B \perp B C$ ， $A A_{1}=A C=2, B C=1, E, F$ 分别为 $A_{1} C_{1} , B C$ 的中点．
（1）求证：平面 $A B E \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（2）求证： $\mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 ABE ；
（3）求三棱锥 $E-A B C$ 的体积．

18．（13 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（I）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；
（II）求频率分布直方图中的 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值；
（III）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

19．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+2 y^{2}=4$ ．
（ I ）求椭圆 C 的离心率；
（II）设 O 为原点，若点 A 在直线 $\mathrm{y}=2$ 上，点 B 在椭圆 C 上，且 $\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$ ，求线段 AB 长度的最小值．

20．（13 分）已知函数 $f(x)=2 x^{3}-3 x$ ．
（I）求 $f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值；
（II）若过点 $\mathrm{P}(1, \mathrm{t})$ 存在 3 条直线与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 相切，求 t 的取值范围；
（III）问过点 $A(-1,2), B(2,10), C(0,2)$ 分别存在几条直线与曲线 $y=f$ （x）相切？（只需写出结论）