2014 天津卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{7+i}{3+4 i}=$

2．设变量 $x , y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geq 0 \\ x-y-2 \leq 0 \\ y \geq 1\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=x+2 y$ 的最小值为

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$ 的值为

A． 15
B． 105
С． 245
D． 945

4．函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-4\right)$ 的单调递增区间为

5．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线平行于直线 $l: y=2 x+10$ ，双曲线的一个焦点在直线 $l$ 上，则双曲线的方程为

6．如图，$\triangle A B C$ 是圆的内接三角形，$\angle B A C$ 的平分线交圆于点 $D$ ，交 $B C$于点 $E$ ，过点 $B$ 的圆的切线与 $A D$ 的延长线交于点 $F$ ，在上述条件下，给出下列四个结论：①$B D$ 平分 $\angle C B F$ ；②$F B^{2}=F D \cdot F A$ ；③ $A E \cdot C E=B E \cdot D E$ ；④$A F \cdot B D=A B \cdot B F$ ．则所有正确结论的序号是

7．设 $a , b \in R$ ，则＂$a>b$＂是＂$a|a|>b|b|$＂的

8．已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2, \angle B A D=120^{\circ}$ ，点 $E , F$ 分别在边 $B C , D C$ 上， $B E=\lambda B C, D F=\mu D C$ 。若 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=1, \overrightarrow{C E} \cdot \overrightarrow{C F}=-\frac{2}{3}$ ，则 $\lambda+\mu=$

9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向 ，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 $4: 5: 5: 6$ ，则应从一年级本科生中抽取 $\_\_\_\_$名学生．

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$ ．

正视图

侧视图

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 -1 的等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$项和，若 $S_{1} , S_{2} , S_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1}$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

12．在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A , B , C$ 所对的边分别是 $a , b ,$

俯视图

$c$ ．已知 $b-c=\frac{1}{4} a, 2 \sin B=3 \sin C$ ，则 $\cos A$ 的值为 $\_\_\_\_$

14．已知函数 $f(x)=\left|x^{2}+3 x\right|, x \in R$ ．若方程 $f(x)-a|x-1|=0$ 恰有 4 个互异的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

15．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\cos x \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{4}, x \in R$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

16．（本小题满分 13 分）
某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学．在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学 ，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）。
（1）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

17．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, A D \perp A B, A B / / D C$ ， $A D=D C=A P=2, A B=1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．
（1）证明：$B E \perp D C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；
（3）若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F \perp A C$ ，求二面角 $F-A B-P$ 的余弦值．

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．
已知 $|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

19．（本小题满分 14 分）
已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 $M=\{0,1,2, \ldots, q-1\}$ ，集合 $A=\left\{x \mid x=x_{1}+x_{2} q+\ldots+x_{n} q^{n-1}, \quad x_{i} \in M, i=1,2, \ldots, n\right\}$ ．
（1）当 $q=2, n=3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；
②设 $s , t \in A, s=a_{1}+a_{2} q+\ldots+a_{n} q^{n-1}, t=b_{1}+b_{2} q+\ldots+b_{n} q^{n-1}$ ，其中 $a_{i} , b_{i} \in M , i=1,2, \ldots, n$ ．证明：若 $a_{n}<b_{n}$ ，则 $s<t$ ．

20．（本小题满分 14 分）
设 $f(x)=x-a e^{x}(a \in R), x \in R$ 。已知函数 $y=f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}<x_{2}$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着 $a$ 的减小而增大；
（3）证明 $x_{1}+x_{2}$ 随着 $a$ 的减小而增大。