2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设命题 $p: \forall x \in R, x^{2}+1>0$ ，则 $\neg p$ 为

2.已知集合 { | $2}, { |1 3}A x x B x x= > =$ < <，则 A B=I
.{ | 2}A x x> .{ | 1 }B x x> .{ | 2 3}C x x< < .{ |1 3}D x x< <

2．已知集合 $A=\{x \mid x>2\}, B=\{x \mid 1<x<3\}$ ，则 $A \cap B=$

3．对一个容量为 $N$ 的总体抽取容量为 $n$ 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，则
$A \cdot p_{1}=p_{2}<p_{3}$
B．$p_{2}=p_{3}<p_{1}$
C．$p_{1}=p_{3}<p_{2}$
D．$p_{1}=p_{2}=p_{3}$

4．下列函数中，既是偶函数又在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增的是

5．在区间 $[-2,3]$ 上随机选取一个数 $X$，则 $X \leq 1$ 的概率为：

6．若圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=1$ 与圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+m=0$ ，则 $m=~()$

7．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $t \in[-2,2]$ ，则输出的 $S$ 属于（ ）

8．一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

9．若 $0<x_{1}<x_{2}<1$，则

10．在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0), B(0, \sqrt{3}), C(3,0)$，动点 $D$ 满足 $|\overrightarrow{C D}|=1$，则 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}|$ 的取值范围是

11．复数 $\frac{3+i}{i^{2}}$（ $i$ 为虚数单位）的实部等于 $\_\_\_\_$ ．

12．在平面直角坐标系中，曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）的普通方程为 $\_\_\_\_$

13．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y \leq x \\ x+y \leq 4 \\ y \geq 1\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

14．平面上以机器人在行进中始终保持与点 $F(1,0)$ 的距离和到直线 $x=-1$ 的距离相等．若机器人接触不到过点 $P(-1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

15．若 $f(x)=\ln \left(e^{3 x}+1\right)+a x$ 是偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

16．（本小题满分 12 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}, n \in N^{*} \quad$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=2^{a_{n}}+(-1)^{n} a_{n}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．

17．（本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
$(a, b),(a, \vec{b}),(a, b),(\vec{a}, b),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, b),(a, \vec{b})$,
$(\vec{a}, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, b),(a, b)$

其中 $a, \vec{a}$ 分别表示甲组研发成功和失败；$b, \vec{b}$ 分别表示乙组研发成功和失败。
（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记 1 分，否记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．

18．（本小题满分 12 分）如图 3，已知二面角 $\alpha-M N-\beta$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，菱形 $A B C D$ 在面 $\beta$ 内，$A, B$两点在棱 $M N$ 上，$\angle B A D=60^{\circ}, E$ 是 $A B$ 的中点，$D O \perp$ 面 $\alpha$ ，垂足为 $O$ ．
（1）证明：$A B \perp$ 平面 $O D E$ ；
（2）求异面直线 $B C$ 与 $O D$ 所成角的余弦值．

19．（本小题满分 13 分）如图 4，在平面四边形 $A B C D$ 中，
$D A \perp A B, D E=1, E C=\sqrt{7}, E A=2, \angle A D C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B E C=\frac{\pi}{3}$
（1）求 $\sin \angle C E D$ 的值；
（2）求 $B E$ 的长

图4

20．（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．

－图 5

21．（本小题满分 13 分）已知函数 $f(x)=x \cos x-\sin x+1(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_{i}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $i\left(i \in N^{*}\right)$ 个零点，证明：对一切 $n \in N^{*}$ ，有 $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}^{2}}<\frac{2}{3}$ ．