2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，集合 $A=\{1,3,5,6\}$，则 $C_{U} A=$

2．$i$ 为虚数单位，则 $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2}=$

3．命题＂$\forall x \in \mathrm{R}, ~ x^{2} \neq x$＂的否定是

4．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 4 \\ x-y \leq 2 \\ x \geq 0, y \geq 0\end{array}\right.$，则 $2 x+y$ 的最大值是

5．随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过 5 的概率为 $P_{1}$ ，点数之和大于 5 的概率为 $P_{2}$ ，点数之和为偶数的概率为 $P_{3}$ ，则

6．根据如下样本数据：

得到的回归方程为 $\hat{y}=b x+a$ ，则

7．在如图所示的空间直角坐标系 $O-x y z$ 。中，一个四面体的顶点坐标分别是 $(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1)$ ， （ $2,2,2$ ），给出编号（1）、（2）、（3）、（4）的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

图（1）

图（2）

图（3）

图④

8．设 $a , b$ 是关于 $t$ 的方程 $t^{2} \cos \theta+t \sin \theta=0$ 的两个不等实根，则过 $A\left(a, a^{2}\right), B\left(b, b^{2}\right)$ 两点的直线与双曲线 $\frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 的公共点的个数为（ ）

9．已知 $f(x)$ 是定义在 R 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=x^{2}-3 x$ ，则函数 $g(x)=f(x)-x+3$ 的零点的集合为（ ）

10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求＂盖＂的术：置如其周，令相承也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 $L$ 与高 $h$ ，计算其体积 $V$ 的近似公式 $v \approx \frac{1}{36} L^{2} h$ ．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 $\pi$ 近似取为 3．那么近似公式 $v \approx \frac{2}{75} L^{2} h$ 相当于将圆锥体积公式中的 $\pi$ 近似取为（ ）

11．甲、乙两套设备生产的同类产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行检测．若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 $\_\_\_\_$件．

12．若向量 $\overrightarrow{O A}=(1,-3),|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|, \overrightarrow{O A} \bullet \overrightarrow{O B}=0$ ，则 $|\overrightarrow{A B}|=$ $\_\_\_\_$ ．

14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 $n$ 的值为 9 ，则输出 $S$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．如图所示，函数 $y=f(x)$ 的图象由两条射线和三条线段组成．若 $\forall x \in \mathrm{R}, f(x)>f(x-1)$ ，则正实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

17．已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 和点 $A(-2,0)$ ，若定点 $B(b, 0)(b \neq-2)$ 和常数 $\lambda$ 满足：对圆 $O$ 上那个任意一点 $M$ ，都有 $|M B|=\lambda|M A|$ ，则：
①$b=$ $\_\_\_\_$ ；
②$\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

18．（本小题满分 12 分）
某实验室一天的温度（单位：${ }^{\circ} C$ ）随时间 $t$（单位：$h$ ）的变化近似满足函数关系；
$f(t)=10-\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} t-\sin \frac{\pi}{12} t, t \in[0,24)$ ．
（1）求实验室这一天上午 8 时的温度；
（2）求实验室这一天的最大温差．

19．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=2$，且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n}>60 n+800$ ？若存在，求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分 14 分）

$\pi$ 为圆周率，$e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数．
（1）求函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；
（2）求 $e^{3}, 3^{e}, e^{\pi}, \pi^{e}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数中的最大数与最小数；
（3）将 $e^{3}, 3^{e}, e^{\pi}, \pi^{e}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

22．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 1 ，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求轨迹为 $C$ 的方程
②设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $p(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$ 的相应取值范围．