2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $M=\{x \mid x \geq 0, x \in R\}, N=\left\{x \mid x^{2}<1, x \in R\right\}$ ，则 $M \cap N=$

2．函数 $f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期是
A．$\frac{\pi}{2}$
В．$\pi$
C． $2 \pi$
D． $4 \pi$

3．定积分 $\int_{0}^{1}\left(2 x+e^{x}\right) d x$ 的值为

4．根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

5．已知底面边长为 1 ，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

6．从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为

7．下列函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

8．原命题为＂若 $z_{1}, z_{2}$ 互为共轭复数，则 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$＂，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是

9．设样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ 的均值和方差分别为 1 和 4 ，若 $y_{i}=x_{i}+a$（ $a$ 为非零常数，$i=1,2, \cdots, 10$ ），则 $y_{1}, y_{2}, \cdots y_{10}$ 的均值和方差分别为

10．如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 $A$ 的水平距离 10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）

11．已知 $4^{a}=2, \lg x=a$ ，则 $x=$

12．若圆 $C$ 的半径为 1 ，其圆心与点 $(1,0)$ 关于直线 $y=x$ 对称，则圆 $C$ 的标准方程为

13．设 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，向量 $\vec{a}=(\sin 2 \theta, \cos \theta), \vec{b}(\cos \theta, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\tan \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

14．观察分析下表中的数据：

猜想一般凸多面体中，$F, V, E$ 所满足的等式是 $\_\_\_\_$。

16．（本小题满分 12 分）
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$．
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值．

17．（本小题满分 12 分）
四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，过棱 $A B$ 的中点 $E$ 作平行于 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $B D, D C, C A$ 于点 $F, G, H$．



（1）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形；
（2）求直线 $A B$ 与平面 $E F G H$ 夹角 $\theta$ 的正弦值．

18．（本小题满分 12 分）

在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A(1,1), B(2,3), C(3,2)$ ，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上
（1）若 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$ ，求 $|\overrightarrow{O P}|$ ；
②设 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in R)$ ，用 $x, y$ 表示 $m-n$ ，并求 $m-n$ 的最大值。

19．（本小题满分 12 分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上
的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设 $X$ 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 $X$ 的分布列；
（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率．