2018 新课标 I 卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）已知集合 $\mathrm{A}=\{0,2\}, \mathrm{B}=\{-2,-1,0,1,2\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

2．（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：  建设前经济收入构成比例  建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是

4．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的一个焦点为 $(2,0)$ ，则C的离心率为（

5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O_{1}, O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为

6．（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为

7．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}=$（ ）

8．（5分）已知函数 $f(x)=2 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x+2$ ，则（ ）

9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 $A$   

10．（5分）在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=B C=2, A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，则该长方体的体积为（ ）

11．（5分）已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A(1, a), B(2, b)$ ，且 $\cos 2 \alpha=\frac{2}{3}$ ，则 $|a-b|=$（ ）

12．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{-x}, x \leqslant 0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x+1)<f(2 x)$ 的 $x$ 的取值范围是

13．（5分）已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(x^{2}+a\right)$ ，若 $f(3)=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －7 ．

14．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y-2 \leqslant 0 \\ x-y+1 \geqslant 0 \\ y \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3 x+2 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 6 ．

15．（5分）直线 $y=x+1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 y-3=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

16．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $b \sin C+c \sin B=4 a \sin B \sin C, b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$ ，设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$ ． （1）求 $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \mathrm{~b}_{3}$ ； （2）判断数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为等比数列，并说明理由； （3）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

18．（12分）如图，在平行四边形 ABCM 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3, \angle \mathrm{ACM}=90^{\circ}$ ，以 AC 为折痕将 $\triangle A C M$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位置，且 $A B \perp D A$ ． （1）证明：平面 $A C D \perp$ 平面 $A B C$ ； （2）$Q$ 为线段 $A D$ 上一点，$P$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $B P=D Q=\frac{2}{3} D A$ ，求三棱锥 $Q-A B$ P 的体积。 

19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： $\mathrm{m}^{3}$ ）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 | 日用水量 | $[0,0.1$ <br> $)$ | $[0.1,0.2$ <br> $)$ | $[0.2,0.3$ <br> $)$ | $[0.3,0.4$ <br> $)$ | $[0.4,0.5$ <br> $)$ | $[0.5,0.6$ $\left[\begin{array}{ll}0.6, & 0.7 \\ )\end{array}\right.$ <br> 频数 1 | 3 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 | 日用水量 | $[0,0.1$ <br> $)$ | $[0.1,0.2$ <br> $)$ | $[0.2,0.3$ <br> $)$ | $[0.3,0.4$ <br> $)$ | $[0.4,0.5$ <br> $)$ | $[0.5,0.6$ <br> $)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 | （1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；  （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35 \mathrm{~m}^{3}$ 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

20．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=2 x$ ，点 $A(2,0), B(-2,0)$ ，过点 $A$ 的直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点。 （1）当 $\mid$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $B M$ 的方程； （2）证明：$\angle A B M=\angle A B N$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{x}-\ln x-1$ ． ①设 $x=2$ 是 $f$（ $x$ ）的极值点，求 $a$ ，并求 $f(x)$ 的单调区间； （2）证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时，$f(x) \geq 0$ ．

22．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$ ．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0$ （1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程； （2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程。

23．已知 $f(x)=|x+1|-|a x-1|$ ． ①当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)>1$ 的解集； （2）若 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立，求 $a$ 的取值范围．