2015 上海卷 数学

设全集 $\mathrm{U}=\mathbf{R}$．若集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$，$\mathrm{B}=\left\{x \mid 2 \leq x \leq 3\right\}$，则 $\mathrm{A} \cap \complement_{\mathrm{U}} \mathrm{B}=$ ________．

若复数z 满足 $3 z + \overline { { z } } = 1 + i$ ，其中i为虚数单位，则z =

若线性方程组的增广矩阵为 $\left( { \begin{array} { l l l } { 2 } & { 3 } & { c _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { c _ { 2 } } \end{array} } \right)$ 、解为 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = 3 } \\ { y = 5 } \end{array} } \right.$ ，则 $c _ { 1 } - c _ { 2 } =$

若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为 $1 6 \sqrt { 3 }$ ，则a =

抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ~ ( \ p > 0 \ )$ ）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p =

若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 \pi$ ，则其母线与轴的夹角的大小为

方程 $\log _ { 2 } { \left( 9 ^ { x - 1 } - 5 \right) } = \log _ { 2 } { \left( 3 ^ { x - 1 } - 2 \right) } + 2$ 的解为

在报名的3名男教师和6 名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）

已知点R和Q的横坐标相同，R的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，R和Q的轨迹分别为 双曲线 $\mathrm { C } _ { 1 }$ 和 $\mathrm { C } _ { 2 }$ ．若 $\mathrm { C } _ { 1 }$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt { 3 } x$ ，则 $\mathrm { C } _ { 2 }$ 的渐近线方程为

设 $f ^ { - 1 } \left( x \right)$ 为 $f \left( x \right) = 2 ^ { x - 2 } + { \frac { x } { 2 } } , x \in \left[ 0 , 2 \right]$ 的反函数，则 $y = f { \big ( } x { \big ) } + f ^ { - 1 } { \big ( } x { \big ) }$ 的最大值为

在 $\left( 1 + x + { \frac { 1 } { x ^ { 2 0 1 5 } } } \right) ^ { 1 0 }$ 的展开式中， $x ^ { 2 }$ 项的系数为 （结果用数值表示）

赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 $\xi _ { 1 }$ 和 $\boldsymbol { \xi } _ { 2 }$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $\mathrm { E } \xi _ { 1 } - \mathrm { E } \xi _ { 2 } =$ （元）

已知函数 $f ( x ) = \sin { x }$ ．若存在 $x _ { 1 } , ~ x _ { 2 } , ~ \cdots , ~ x _ { m }$ 满足 $0 \leq x _ { 1 } < x _ { 2 } < \cdots < x _ { m } \leq 6 \pi$ 且

$\left| f \left( x _ { 1 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) \right| + \left| f \left( x _ { 2 } \right) - f \left( x _ { 3 } \right) \right| + \cdots + \left| f \left( x _ { n - 1 } \right) - f \left( x _ { n } \right) \right| = 1 2 \left( m \geq 2 , m \in \mathbb { N } ^ { * } \right) .$ ，则
m的最小值
为

在锐角三角形ABC中， $\tan \mathrm { A } = { \frac { 1 } { 2 } }$ ，D 为边BC上的点，DABD 与DACD的面积分别为2 和4 ．过D 作DE ^ AB于E，DF C^ A 于 F，则 ${ \overrightarrow { \mathrm { D E } } } { \cdot } { \overrightarrow { \mathrm { D F } } } =$

设 $z _ { 1 } , z _ { 2 } \in \mathrm { C }$ ，则 ${ \bf \Sigma } ^ { 6 } z _ { 1 } \setminus z _ { 2 }$ 中至少有一个数是虚数”是 ${ \bf \dot { \cdot } } _ { Z _ { 1 } } - z _ { 2 }$ 是虚数”的（ ）

已知点A的坐标为 $\left( 4 { \sqrt { 3 } } , 1 \right)$ ，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 $\frac { \pi } { 3 }$ 至OB，则点B的 纵坐标为（ ） A $\frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 2 }$ B $\frac { 5 { \sqrt { 3 } } } { 2 }$ C $\frac { 1 1 } { 2 }$

$$ \frac { 1 3 } { 2 } $$

记方程①： $x ^ { 2 } + a _ { 1 } x + 1 = 0$ ，方程 $\textcircled{2}$ ： $x ^ { 2 } + a _ { 2 } x + 2 = 0$ ，方程③： $x ^ { 2 } + a _ { 3 } x + 4 = 0$ ，其中 $a _ { 1 } , \quad a _ { 2 } , \quad a _ { 3 }$ 是正实数．当 $a _ { 1 } , \quad a _ { 2 } , \quad a _ { 3 }$ 成等比数列时，下列选项中，能推出方程

③无实根的是（ ）

设 $P_n(x_n, y_n)$ 是直线 $2x - y = \dfrac{n}{n+1} \ (n \in \mathbb{N}^*)$ 与圆 $x^2 + y^2 = 2$ 在第一象限的交点，则极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{y_n - 1}{x_n - 1} =$ （　　）

（本题满分12分）如图，在长方体 $\mathrm { A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 中， $\mathbf { A } \mathbf { A } _ { 1 } = 1$ ${ \mathrm { A B } } = { \mathrm { A D } } = 2$ ，E、F分别是AB、BC的中点．证明 $\mathbf { A } _ { 1 } \setminus \mathbf { C } _ { 1 }$ 、F、E四点共面，并求直线 $\mathrm { C D } _ { 1 }$ 与平面 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 } \mathrm { F E }$ 所成的角的大小.