弦长公式与韦达定理　·　历年高考数学真题与解析

21．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|M F|=2$ ，

（1）求抛物线的方程；
②设过点 $F$ 的直线交抛物线与 $A , B$ 两点，斜率为 2 的直线 $l$ 与直线 $M A, M B, A B, x$ 轴依次交于点 $P, Q, R$

，$N$ ，且 $|R N|^{2}=|P N| \cdot|Q N|$ ，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的范围．

21．如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $F$ 为焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A B$ 两点，点 $C$在抛物线上，使得 $\mathrm{V} A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧．记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ．

（1）求 $p$ 的值及抛物线的标准方程；
（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标．

19．（14 分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ 经过点 $\mathrm{P}(1,2)$ ，过点 $\mathrm{Q}(0,1)$ 的直线 $l$与抛物线 C 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y轴于 $N$ ．
（I）求直线 $l$ 的斜率的取值范围；
（II）设 O 为原点， $\overrightarrow{\mathrm{QM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{QO}}, \overrightarrow{\mathrm{QN}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{QO}}$ ，求证：$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}$ 为定值。

20．（14 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．斜率为 k 的直线 $l$ 与椭圆 M 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ．
（I）求椭圆 M 的方程；
（II）若 $\mathrm{k}=1$ ，求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值；
（III）设 $\mathrm{P}(-2,0)$ ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M的另一个交点为 D．若 C，D 和点 Q（ $-\frac{7}{4}, \frac{1}{4}$ ）共线，求 k ．

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\mathrm{y}^{2}=1(\mathrm{a}>1)$
（I）求直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 被椭圆截得到的弦长（用 $\mathrm{a}, \mathrm{k}$ 表示）
（II）若任意以点 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\mathrm{y}^{2}=1 \quad(\mathrm{a}>1)$
（I）求直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 被椭圆截得到的弦长（用 $\mathrm{a}, \mathrm{k}$ 表示）
（II）若任意以点 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

21．（12分）已知 $A$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左顶点，斜率为 $k(k>0)$ 的直线交 $E$于 $A, M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$M A \perp N A$ ．
（I）当 $|A M|=|A N|$ 时，求 $\triangle A M N$ 的面积
（II）当 $2|A M|=|A N|$ 时，证明：$\sqrt{3}

20、（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 在短轴 $C D$ 上，且 $\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}=-1$
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A , B$ 两点。是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\lambda \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．

20．椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a>b>0)$ 的离心率 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $c$ 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 I 不过原点 O 且不平行于坐标轴， I 与 C 有两个交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为M．证明：直线 $O M$ 的斜率与I的斜率的乘积为定值．

10．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C$ ：$y^{2}=3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交于 $C$ 于 $A$ ，$B$ 两点，则 $|A B|=$（ ）

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l: y=-\frac{1}{2} x+m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程．

8．设 $a , b$ 是关于 $t$ 的方程 $t^{2} \cos \theta+t \sin \theta=0$ 的两个不等实根，则过 $A\left(a, a^{2}\right), B\left(b, b^{2}\right)$ 两点的直线与双曲线 $\frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 的公共点的个数为（ ）

20．（本小题满分 12 分）

如图，抛物线 $E: y^{2}=4 x$ 的焦点为 F，准线 $l$ 与 x 轴的交点为 A．点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆

心，$|C O|$ 为半径作圆，设圆 C 与准线 $l$ 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$．
（I）若点 C 的纵坐标为 2，求 $|M N|$；
（II）若 $|A F|^{2}=|A M| \cdot|A N|$，求圆 C 的半径．

21．（本小题满分 13 分）在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$
的一个焦点为圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 的圆心．
（1）求椭圆 $\boldsymbol{E}$ 的方程；
②设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $I_{1}, I_{2}$ 。当直线 $I_{1}, I_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标．

19．（本小题共14分）
已知椭圆 $G: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，斜率为 I 的直线 $l$ 与椭圆 G 交与 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 $\mathrm{P}(-3,2)$ ．
（I）求椭圆 $G$ 的方程；
（II）求 $\triangle P A B$ 的面积．

14．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，$A, B$在 $x$ 轴上的正射影分别为 $D, C$ 。若梯形 $A B C D$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

（20）（本小题满分 12 分）
设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\mathrm{E}: x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<\mathrm{b}<1)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$与 E 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且 $\left|A F_{2}\right|,|A B|,\left|B F_{2}\right|$ 成等差数列。
（I）求 $|A B|$
（II）若直线 $l$ 的斜率为 1 ，求 b 的值。