2009 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

（1）设集合 $S=\{x| | x \mid<5\}, T=\{x \mid(x+7)(x-3)<0\}$ ，则 $S \cap T=$

（2）函数 $y=2^{x+1} \quad(x \in R)$ 的反函数是

（3）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差不为零，首项 $a_{1}=1, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{5}$ 等比中项，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项之和是

（4）已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x \in R)$ ，下面结论错误的是

（5）设矩形的长为 $a$ ，宽为 $b$ ，其比满足 $b: a=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，这种矩形给人美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： | 甲批次： 0.598 | 0.625 | 0.628 | 0.595 | 0.639 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 乙批次： 0.618 | 0.613 | 0.592 | 0.622 | 0.620 | 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是

（6）如图，已知六棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCDEF}$ 的底面是正六边形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{PA}=2 \mathrm{AB}$ ，则下列结论正确的是

（7）已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 为实数，且 $c>d$ ，则＂ $\mathrm{a}>\mathrm{b}$＂是＂$a-c>b-d$＂的

（8）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，其一条渐进线方程为 $y=x$ ，点 $p\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=$ A -12 B -2 C 0 D 4

（9）如图，在半径为3的球面上有 A．B．C三点，$\angle A B C=90^{\circ}$ ， $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$ ，球心 O 到平面 ABC 的距离是 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 B．C 两点的球面距离是  A $\frac{\pi}{3}$ B $\pi$ C $\frac{4}{3} \pi$ D $2 \pi$

（10）某企业生产甲、乙两种产品。已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A 12 万 B 20 万 C 25 万 D 27 万

（11） 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 为女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36

（12）已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 $x f(x+1)=(1+x) f(x)$ ，则 $f\left(\frac{5}{2}\right)$ 的值是 A 0 B $\frac{1}{2}$ C 1 D $\frac{5}{2}$ 第 II 卷 本卷共 10 小题，共 90 分．

（13）抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到准线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

（14）$\left(2 x-\frac{1}{2 x}\right)^{6}$ 的展开式的常数项是 $\_\_\_\_$ ．（用数字 作答）

（15）如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等， M  是侧棱 $C C_{1}$ 的中点，侧异面直线 $A B_{1}$ 和 BM 所成的角的大小是 $\_\_\_\_$ ．

（16）设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射 $f: V \rightarrow V, a \in V$ ，记 $a$ 的象为 $f(a)$ ．若映射 $f: V \rightarrow V$ 满足：对所有 $a, b \in V$ 及任意实数 $\lambda , \mu$ 都有 $f(\lambda a+\mu b)=\lambda f(a)+\mu f(b)$ ，则 $f$ 称为平面 M 上的线性变换，现有下列命题： ①设 $f$ 是平面 M 上的线性变换，$a , b \in V$ ，则 $f(a+b)=f(a)+f(b)$ ； ②若 e 是平面 M 上的单位向量，对 $a \in V$ ，设 $f(a)=a+e$ ，则 $f$ 是平面 M 上的线性变换； ③对 $a \in V$ ，设 $f(a)=-a$ ，则 $f$ 是平面 M 上的线性变换； ④设 $f$ 是平面 M 上的线性变换，$a \in V$ ，则对任意实数 k 均有 $f(k a)=k f(a)$ ．其中的真命题是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有真命题的编号）

（17）（本小题满分 12 分） 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为锐角，角 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a} , \mathrm{~b} , \mathrm{c}$ ，且 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$. （I）求 $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 的值； （II）若 $a-b=\sqrt{2}-1$ ，求 $a , \mathrm{~b} , \mathrm{c}$ 得值．．．

（18）（本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡． （I）在该团中随即采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； （II）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率．

（20）（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=x^{3}+2 b x^{2}+c x-2$ 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 $y=5 x-10$ ． （I）求函数 $f(x)$ 的解析式； （II）设函数 $g(x)=f(x)+\frac{1}{3} m x$ ，若 $\mathrm{g}(x)$ 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 $g(x)$ 取得极值时对应的自变量 x 的值．．

（21）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $\mathrm{x}=2$ ． （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该椭圆相交于 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程式．

（22）（本小题满分 14 分） 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，对任意的正整数 n ，都有 $a_{n}=5 s_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{+}\right) .$. （I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{R}_{n}$ ，是否存在正整数 k ，使得 $R_{k} \geq 4 k$ 成立？若存在，找出一个正整数 k ；若不存在，请说明理由； （III）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{+}\right)$，设数列 $\left|c_{n}\right|$ 的前 n 项和味 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 n ，都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ．