2010 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $M=\{1,2,3\}, N=\{2,3,4\}$ ，则

2．下列命题中的假命题是

3．极坐标方程 $\rho=\cos \theta$ 和参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=-1-t, \\ y=2+3 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）所表示的图形分别是

4．在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A C=4$ ，则 $\overrightarrow{A B} \bullet \overrightarrow{A C}$ 等于

5． $\int_{2}^{4} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 等于

6．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ．若 $\angle C=120^{\circ}, c=\sqrt{2} a$ ，则

7．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1 ，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

8．用 $\min \{a, b\}$ 表示 $a, b$ 两数中的最小值．若函数 $f(x)=\min \{|x|,|x+t|\}$ 的图像关于直线 $x=-\frac{1}{2}$ 对称，则 $t$ 的值为

9．已知一种材料的最佳加入量在 110 g 到 210 g 之间．若用 0.618 法安排实验，则  图1 第一次试点的加入量可以是 $\_\_\_\_$ g．

10．如图1所示，过 $\odot O$ 外一点 P 作一条直线与 $\odot O$ 交于 A ， B 两点．已知 $\mathrm{PA}=2$ ，点 P 到 $\odot O$ 的切线长 $\mathrm{PT}=4$ ，则弦 AB 的长为 $\_\_\_\_$。

11．在区间 $[-1,2]$ 上随机取一个数 $x$ ，则 $|x| \leq 1$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

12．图2是求 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+100^{2}$ 的值的程序框图，则正整数 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

13．图3中的三个直角三角形是一个体积为 $20 \mathrm{~cm}^{3}$ 的几何体的三视图，则 $h=$ $\_\_\_\_$ cm ．   图3

14．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，$A, B$在 $x$ 轴上的正射影分别为 $D, C$ 。若梯形 $A B C D$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

15．若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ ，只有有限个正整数 $m$ 使得 $a_{m}<n$ 成立，记这样的 $m$ 的个数为 $\left(a_{n}\right)^{*}$ ，则得到一个新数列 $\left\{\left(a_{n}\right)^{*}\right\}$ 。例如，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $1,2,3 \ldots, n, \ldots$ ，则数列 $\left\{\left(a_{n}\right)^{*}\right\}$ 是 $0,1,2, \ldots, n-1, \ldots$ ．已知对任意的 $n \in \mathrm{~N}^{*}, a_{n}=n^{2}$ ，则 $\left(a_{5}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ， $\left(\left(a_{n}\right)^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（本小题满分12分） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x-2 \sin ^{2} x$ ． （I）求函数 $f(x)$ 的最大值； （II）求函数 $f(x)$ 的零点的集合．

17．（本小题满分 12 分） 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。 （I）求直方图中 $x$ 的值．  （II）在棱 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 上是否存在一点 F ，使 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ ？证明你的结论．  图5 ## 19．（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（图6）。在直线 $x=2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$ 的区域；在直线 $x=2$ 的左侧，考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} \mathrm{~km}$ 的区域。 （I）求考察区域边界曲线的方程； （II）如图6所示，设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所  图6 ## 20．（本小题满分 13 分） 已知函数 $f(x)=x^{2}+b x+c(b, c \in R)$ ，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{\prime}(x) \leq f(x)$ ． （I）证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq(x+c)^{2}$ ； （II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 $f(c)-f(b) \leq M\left(c^{2}-b^{2}\right)$ 恒成立，求 M的最小值． ## 21．（本小题满分 13 分） 数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}$ 是函数 $f_{n}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}\left(3 a_{n}+n^{2}\right) x^{2}+3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点。 （I）当 $a=0$ 时，求通项 $a_{n}$ ； （II）是否存在 $a$ ，使数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由． ## 2010年湖南省高考数学试卷（理科）