2010 上海卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $A=\{1,3, m\}, B=\{3,4\}, A \bigcup B=\{1,2,3,4\}$ 则 $m=\underline{2} 。$

2．不等式 $\frac{2-x}{x+4}>0$ 的解集是— $\{x \mid-4<x<2\}$ 。

3．行列式 $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{6} & \sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{6} & \cos \frac{\pi}{6}\end{array}\right|$ 的值是 $0.5 \quad$ 。

4．若复数 $z=1-2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z}+z=\underline{6-2 i}$ —。

5．将一个总数为 $A , B , C$ 三层，其个体数之比为 $5: 3: 2$ 。若用分层抽样方法抽取容量为 10 0 的样本，则应从 $C$ 中抽取 $\_\_\_\_$ 20个个体。

6．已知四棱椎 $P-A B C D$ 的底面是边长为6 的正方形，侧棱 $P A \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A=8$ ，则该四棱椎的体积是 $\_\_\_\_$ 96。

7．圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+4=0$ 的圆心到直线 $3 x+4 y+4=0$ 的距离 $d=$ $\_\_\_\_$ 3。

8．动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x+2=0$ 的距离相等，则 $P$ 的轨迹方程为 $\_\_\_\_$ $y^{2}=8 x$ 。

9．函数 $f(x)=\log _{3}(x+3)$ 的反函数的图像与 $y$ 轴的交点坐标是 $\_\_\_\_$ $(0,-2)$ 。

10.  从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 2 张，则＂抽出的 2 张均为红桃＂的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{51}$ （结果用最简分数表示）。

11. 2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园。在右边的框图中，$S$ 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，$a$ 表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 $\_\_\_\_$ $S \leftarrow S+a$ $\_\_\_\_$。

12．在 $n$ 行 $m$ 列矩阵 $\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n & 1 & 2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-3 & n-2 & n-1\end{array}\right)$ 中， 记位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{i j}(i, j=1,2 \cdots, n)$ 。当 $n=9$ 时，$a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{99}=\_45$

13．在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma$ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $(\sqrt{5}, 0)$ ， $\vec{e}_{1}=(2,1) , \vec{e}_{2}=(2,-1)$ 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$ ，若 $ \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e}_{1}+\overrightarrow{b e_{2}}(a , b \in R) \text {, 则 } a , b \text { 满足的一个等式是_ } 4 a b=1 \_ \text {。 } $

14．将直线 $l_{1}: x+y-1=0 , l_{2}: n x+y-n=0 , l_{3}: x+n y-n=0 \quad\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right)$ 围成的三角形面积记为 $S_{n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2}$。

15．满足线性约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \leq 3, \\ x+2 y \leq 3, \\ x \geq 0, \\ y \geq 0\end{array}\right.$ 的目标函数 $z=x+y$ 的最大值是［答］

16．＂$x=2 k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in Z)$＂是＂ $\tan x=1$＂成立的 ［答］ 

17．若 $x_{0}$ 是方程式 $\lg x+x=2$ 的解，则 $x_{0}$ 属于区间［答］

18．若 $\triangle A B C$ 的三个内角满足 $\sin A: \sin B: \sin C=5: 11: 13$ ，则 $\triangle A B C$

19．（本题满分 12 分） 已知 $0<x<\frac{\pi}{2}$, 化简： $\lg \left(\cos x \cdot \tan x+1-2 \sin ^{2} \frac{x}{2}\right)+\lg \left[\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right]-\lg (1+\sin 2 x)$ ．

20．（本大题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分． 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 $S$ 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）。 （1）当圆柱底面半径 $r$ 取何值时，$S$ 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）； （2）若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）。

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$ （1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出使得 $S_{n+1}>S_{n}$ 成立的最小正整数 $n$ ．

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。 若实数 $x , y , m$ 满足 $|x-m|<|y-m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ ． （1）若 $x^{2}-1$ 比3接近 0 ，求 $x$ 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数 $a , b$ ，证明：$a^{2} b+a b^{2}$ 比 $a^{3}+b^{3}$ 接近 $2 a b \sqrt{a b}$ ； （3）已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z, x \in R\}$ 。任取 $x \in D, f(x)$ 等于 $1+\sin x$ 和 $1-\sin x$ 中接近 0 的那个值．写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．