2015 地方卷 数学

我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

设 $X \sim N ( \mu _ { 1 } , \ \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ) , Y \sim N ( \mu _ { 2 } , \ \sigma _ { 2 } ^ { 2 } )$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A $P ( Y \geq \mu _ { 2 } ) \geq P ( Y \geq \mu _ { 1 } )$ B $P ( X \leq \sigma _ { 2 } ) \leq P ( X \leq \sigma _ { 1 } )$ C．对任意正数 ，t $P ( X \leq t ) \geq P ( Y \leq t )$ D．对任意正数 ，t $P ( X \geq t ) \geq P ( Y \geq t )$

设 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } \in { \bf R } ~ , ~ n \geq 3$ . 若 $p \colon \ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n }$ 成等比数列；

： $( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n - 1 } ^ { 2 } ) ( a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } ) = ( a _ { 1 } a _ { 2 } + a _ { 2 } a _ { 3 } + \cdots + a _ { n - 1 } a _ { n } ) ^ { 2 }$，则

已知符号函数 $\operatorname { s g n } x = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { x > 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 , } \\ { - 1 , \ x < 0 . } \end{array} \right. }$ 是 上的增函数，f x( ) R $g ( x ) = f ( x ) - f ( a x ) ( a > 1 )$ ，则（ ）

已知集合 $A = \{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 , x , y \in \mathbf { Z } \}$ $B = \{ ( x , y ) \vert \vert x$ ，定义集合 y x y £ £  | 2 , | | 2, , }Z

AÅ $B = \{ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } , y _ { 1 } + y _ { 2 } ) { \big | } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \in A , \ ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \in B \}$ ，则 中元素的个数为（ ）A BÅ

设 ， 表示不超过 的最大整数. 若存在实数 ，使得xR [ ]x x t $[ t ] = 1 , [ t ^ { 2 } ] = 2 , \cdots , [ t ^ { n } ] = n$ 同时成立，则正整数 的最大值是（ ）n

已知向量 $\overrightarrow { O A } \perp \overrightarrow { A B } \ : , \ : \ : \vert \overrightarrow { O A } \vert = 3$，则 ${ \overrightarrow { O A } } \bullet { \overrightarrow { O B } } =$

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 的A 30^o

方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度B 75^o 30^o$C D =$

m.

如图，圆 与 轴相切于点C x $T ( 1 , 0 )$ ，与 轴正半轴交于两点 （ 在 的上方），y A B, B A且 $\left| A B \right| = 2$

（Ⅰ）圆 的标准方程为C

（Ⅱ）过点 任作一条直线与圆A $O : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 相交于 两点，下列三个结论： M N,

① ${ \frac { \left| N A \right| } { \left| N B \right| } } { = } { \frac { \left| M A \right| } { \left| M B \right| } }$ ; ② ${ \frac { \left| N B \right| } { \left| N A \right| } } - { \frac { \left| M A \right| } { \left| M B \right| } } = 2$ ③ ${ \frac { \left| N B \right| } { \left| N A \right| } } + { \frac { \left| M A \right| } { \left| M B \right| } } = 2 { \sqrt { 2 } }$

其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）

（选修4-1：几何证明选讲）

如图， 是圆的切线， 为切点， 是圆的割线，且PA A PBC $B C = 3 P B$，则 $\frac { A B } { A C } =$ II

第 15 题图

（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系 中，以 O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 的极坐标方程为xoy x l$\rho ( \sin \theta - 3 \cos \theta ) = 0$ ，曲线 的参数方程为C $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = t - { \frac { 1 } { t } } , } \\ { \displaystyle y = t + { \frac { 1 } { t } } } \end{array} } \right.$ ( 为参数) ， 与 C相交于 两点，则t l A , B$\mid A B \mid =$

（本小题满分 11 分）

某同学用“五点法”画函数 $f ( x ) = A \sin ( \omega x + \varphi ) \ ( \omega > 0 , \mid \varphi \mid < { \frac { \pi } { 2 } } )$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $\omega x + \varphi$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>π2</td><td rowspan=1 colspan=1>π</td><td rowspan=1 colspan=1>3π2</td><td rowspan=1 colspan=1> $2 \pi$ </td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>x</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { \pi } { 3 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 5 \pi } { 6 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1> $A \sin ( \omega x + \varphi )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>5</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>-5</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td></tr></table>

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解f x( )析式；

（Ⅱ）将 $y = f ( x )$ 图象上所有点向左平行移动 $\theta \left( \theta > 0 \right)$ 个单位长度，得到 $y = g ( x )$ 的图象. 若 图象的一个对称中心为y g x ( ) $( \frac { 5 \pi } { 1 2 } , 0 )$ ，求 的最小值.

（本小题满分12分）

设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 d，前 项和为n $S _ { n }$ ，等比数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的公比为 ．已知 q $b _ { 1 } = a _ { 1 }$ $b _ { 2 } = 2$ $q = d$ $S _ { 1 0 } = 1 0 0$

（Ⅰ）求数列 $\{ a _ { n } \} \ , \quad \{ b _ { n } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）当 $d > 1$ 时，记 $c _ { n } = { \frac { a _ { n } } { b _ { n } } }$ ，求数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ 的前 项和 n $T _ { n }$

19．（本小题满分 12 分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑

如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 底面，且PD  ABCD $P D = C D$，过棱 的中点，作PC E $E F \perp P B$ 交 PB于点，连接F $D E , D F , B D , B E$

（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写PB DEF平面 DBEF出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面 $D E F .$ 与面 所成二面角的大小为ABCD $\frac { \pi } { 3 }$，求 $\frac { D C } { B C }$ 的值

（本小题满分12分）

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶制品．生产 1 吨 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，A B, A获利 1000 元；生产 1 吨 $B \not | ^ { \underset { } { \ r e } }$ 品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 产品B的产量不超过 产品产量的2倍，设备每天生产 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获A A B,取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>W</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td><td rowspan=1 colspan=1>15</td><td rowspan=1 colspan=1>18</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1>0.3</td><td rowspan=1 colspan=1>0.5</td><td rowspan=1 colspan=1>0.2</td></tr></table>

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单位：元）是一Z个随机变量

（Ⅰ）求 的分布列和均值；Z

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率【答案】（Ⅰ） 的分布列为：Z

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>Z</td><td rowspan=1 colspan=1>8160</td><td rowspan=1 colspan=1>10200</td><td rowspan=1 colspan=1>10800</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1>0.3</td><td rowspan=1 colspan=1>0.5</td><td rowspan=1 colspan=1>0.2</td></tr></table>

；（Ⅱ）0.973.E(Z)  9708

（本小题满分 14 分）

一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处铰链与O AB ON O MN N ON连接， 上的栓子 可沿滑槽 AB滑动，且MN D $D N = O N = 1 ~ , ~ M N = 3$．当栓子 在滑槽 AB内作往复运D动时，带动 绕 转动一周（ 不动时， 也不动）， 处的笔尖画出的曲线记为．以 为原点，N O D N M C O所在的直线为 轴建立如图 2所示的平面直角坐标系AB x

（Ⅰ）求曲线 C的方程；

（Ⅱ）设动直线 与两定直线l $l _ { 1 } : x - 2 y = 0$ 和 $l _ { 2 } : x + 2 y = 0$ 分别交于 两点．若直线P Q, $l _ { \textrm { \tiny * } }$ 总与曲线 有且C只有一个公共点，试探究： $\Delta O Q P$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由

第21题图1
第 21题图2

（本小题满分14分）

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数， $b _ { n } = n ( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n } a _ { n } ~ ( n \in \mathbf { N } _ { + } )$ ， 为自然对数的底数e

（Ⅰ）求函数 $f ( x ) = 1 + x - \mathbf { e } ^ { x }$ 的单调区间，并比较 $( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n }$ 与 的大小；e

（Ⅱ）计算 ${ \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } } , \ { \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } } } , \ { \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } b _ { 3 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } }$ ，由此推测计算 $\frac { b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { n } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } }$ 的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令 $c _ { n } = ( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } ) ^ { \frac { 1 } { n } }$ ，数列 $\{ a _ { n } \} \ , \quad \{ c _ { n } \}$ 的前 项和分别记为n $S _ { n } , T _ { n }$ , 证明： $T _ { n } < e S _ { n }$