2021 北京卷 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $A=\{x \mid-1<x<1\}, B=\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B=$

2．在复平面内，复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2$ ，则 $z=$

3. 已知 $f(x)$ 是定义在上 $[0,1]$ 的函数，那么＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增＂是＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$＂的

4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（） 

5．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（ ）

6．$\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_{k}}{b_{k}}(1 \leq k \leq 5)$ 为常值，$a_{1}=288, a_{5}=96, b_{1}=192$ ，则 $b_{3}=($

7．函数 $f(x)=\cos x-\cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值

8．定义： 24 小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度．其中小雨（ {{QUESTIONS_HTML}}lt;10 \mathrm{~mm}$ ），中雨 $10 \mathrm{~mm}-25 \mathrm{~mm}$ ），大雨（ $25 \mathrm{~mm}-50 \mathrm{~mm}$ ），暴雨（ $50 \mathrm{~mm}-100 \mathrm{~mm}$ ），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（） 

9．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $l: y=k x+m$ ，当 $k$ 变化时，$l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为 2 ，则 $m=($

10．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3, a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=100$ ，则 $n$ 的最大值为

11．$\left(x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{4}$ 展开式中常数项为 $\_\_\_\_$。

12. 已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ ，焦点为 $F$ ，点 $M$ 为抛物线 $C$ 上的点，且 $|F M|=6$ ，则 $M$ 的横坐标是 $\_\_\_\_$ ；作 $M N \perp x$ 轴于 $N$ ，则 $S_{\triangle F M N}=$ $\_\_\_\_$。

13．$\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(2,-1), \vec{c}=(0,1)$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=$ $\_\_\_\_$ ；$\vec{a} \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若点 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 与点 $Q\left(\cos \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right), \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ 关于 $y$ 轴对称，写出一个符合题意的 $\theta=$ $\_\_\_\_$。

15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论： ①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点； ②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点； ③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点； ④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。 以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．

16．已知在 $\triangle A B C$ 中，$c=2 b \cos B, C=\frac{2 \pi}{3}$ ． （1）求 $B$ 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $\triangle A B C$ 存在且唯一确定，并求出 $B C$ 边上的中线的长度． ①$c=\sqrt{2} b$ ；②周长为 $4+2 \sqrt{3}$ ；③面积为 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；

17．已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $C D E$ 于点 $F$ ．  （1）证明：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点； （2）若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M-C F-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．

18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取＂$k$ 合 1 检测法＂，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2人感染病毒。 （1）（1）若采用＂ 10 合 1 检测法＂，且两名患者在同一组，求总检测次数； （2）已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量 $X$ 为总检测次数，求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$ ； （2）若采用＂ 5 合 1 检测法＂，检测次数 $Y$ 的期望为 $E(Y)$ ，试比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小（直接写出结果）．

19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ． （1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程； （2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．

20．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ． （1）求椭圆 $E$ 的标准方程； （2）过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 交 $y=-$ 3于点 $M , N$ ，直线 $A C$ 交 $y=-3$ 于点 $N$ ，若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$ ，求 $k$ 的取值范围．

21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}<a_{4 n}$ ；③ $a_{m+n} \in\left\{a_{m}+a_{n}+p, a_{m}+a_{n}+p+1\right\}, \quad m, n \in N^{*}$. （1）对于前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列，可以是 $R_{2}$ 数列吗？说明理由； （2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值； （3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。