2024 北京卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $M=\{x \mid-4<x \leq 1\}, N=\{x \mid-1<x<3\}$ ，则 $M \cup N=$

2．已知 $\frac{z}{\mathrm{i}}=\mathrm{i}-1$ ，则 $z=$ ．

3．求圆 $x^{2}+y^{2}-2 x+6 y=0$ 的圆心到 $x-y+2=0$ 的距离

4．$(x-\sqrt{x})^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为

5．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则＂$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$＂是＂$\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$＂的（ ）条件。

6．已知 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0), f\left(x_{1}\right)=-1, f\left(x_{2}\right)=1,\left|x_{1}-x_{2}\right|_{\text {min }}=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\omega=$（ ）

7．记水的质量为 $d=\frac{S-1}{\ln n}$ ，并且 $d$ 越大，水质量越好。若 $S$ 不变，且 $d_{1}=2.1, d_{2}=2.2$ ，则 $n_{1}$ 与 $n_{2}$ 的关系为（ ）

8．已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 $4,4,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为（）

9．已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是函数 $y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

10．若集合 $\left\{(x, y) \mid y=x+t\left(x^{2}-x\right), 0 \leq t \leq 1,1 \leq x \leq 2\right\}$ 表示的图形中，两点间最大距离为 $d$ 、面积为 $S$ ，则（ ）

11．已知抛物线 $y^{2}=16 x$ ，则焦点坐标为 $\_\_\_\_$。

12．已知 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称，则 $\cos \beta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．

16．在 $\triangle A B C$ 中，$a=7, A$ 为钝角， $\sin 2 B=\frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．
（1）求 $\angle A$ ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\triangle A B C$ 的面积．
①$b=7$ ；
② $\cos B=\frac{13}{14}$ ；
③$c \sin A=\frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分。

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

20．已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $l$ ．
（1）若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$ ，求 $f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线 $l$ 不经过 $(0,0)$ ；
（3）已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$ ，其中 $t>0$ ，切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时。当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A B O}$ ，符合条件的 $A$ 的个数为？
（参考数据： $1.09<\ln 3<1.10,1.60<\ln 5<1.61,1.94<\ln 7<1.95$ ）

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．