2024 全国甲卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设 $z=5+\mathrm{i}$ ，则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=$

2．集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}, B=\{x \mid \sqrt{x} \in A\}$ ，则 $\partial_{A}(A \cap B)=(\quad)$

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-5 y$ 的最小值为

4．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5}=S_{10}, a_{5}=1$ ，则 $a_{1}=$

5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

7．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

8．已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$（ ）

9．已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$ ，则（ ）

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$其中所有真命题的编号是（ ）

11．在 $\triangle A B C$ 中内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B=\frac{\pi}{3}, b^{2}=\frac{9}{4} a c$ ，则 $\sin A+\sin C=()$

12．已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为

13．$\left(\frac{1}{3}+x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，母线长分别为 $2\left(r_{2}-r_{1}\right)$ 和 $3\left(r_{2}-r_{1}\right)$ ，则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{乙}}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

16．有 6 个相同的球，分别标有数字 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ ，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球．记 $m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是

17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99 \%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ，设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率．如果
$\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了 $? ~(\sqrt{150} \approx 12.247)$

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

19．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求二面角 $F-B M-E$ 的正弦值．

20．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

22．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．

23．实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$ ．
（1）证明： $2 a^{2}+2 b^{2}>a+b$ ；
（2）证明：$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$ ．