2011 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是向量，命题＂若 $\vec{a}=-\vec{b}$ ，则 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$＂的逆命题是

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $x=-2$ ，则抛物线的方程是

3．设 $0<a<b$ ，则下列不等式中正确的是

4．函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 的图像是 

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是   

6．方程 $|x|=\cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 

7．如右框图，当 $x_{1}=6, x_{2}=9, p=8.5$ 时，$x_{3}$ 等于（ ）

8．设集合 $M=\left\{y\left|y=\left|\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right|, x \in R\right\}, N=\left\{\left.x \| \frac{x}{i} \right\rvert\,<1\right.\right.$ ，$i$ 为虚数单位，$x \in \mathbf{R}\}$ ，则 $M \cap N$ 为（ ）

9．设 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots$ ，$\left(x_{n}, y_{n}\right)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的 $n$ 个样本点，直线 $l$ 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）

10．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为

11．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg x, x>0 \\ 10^{x}, x, 0\end{array}\right.$ ，则 $f(f(-2))=$ $\_\_\_\_$ ．

12．如图，点 $(x, y)$ 在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么 $2 x-y$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

13．观察下列等式 $ \begin{gathered} 1=1 \\ 2+3+4=9 \\ 3+4+5+6+7=25 \\ 4+5+6+7+8+9+10=49 \end{gathered} $ 照此规律，第五个等式应为 $\_\_\_\_$。

14．设 $n \in N_{+}$，一元二次方程 $x^{2}-4 x+n=0$ 有整数根的充要条件是 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）若不等式 $|x+1|+|x-2| \ldots a$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分） 设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $(0,4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ ． （1）求 $C$ 的方程； （2）求过点（ $3, ~ 0$ ）且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．

18．（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理。

19．（本小题满分 12 分） 如图，从点 $P_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $y=e^{x}$ 于点 $Q_{1}(0,1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 做x轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1}, Q_{1} ; P_{2}, Q_{2} \ldots \ldots ; P_{n}, Q_{n}$ ，记 $P_{k}$ 点的坐标为 $\left(x_{k}, 0\right)(k=1,2, \ldots, n)$ ． （I）试求 $x_{1}$ 与 $x_{k-1}$ 的关系 $(2 \leq k \leq n)$ （II）求 $\left|P_{1} Q_{1}\right|+\left|P_{2} Q_{2}\right|+\left|P_{3} Q_{3}\right|+\ldots+\left|P_{n} Q_{n}\right|$ ．

21．（本小题满分14分） 设 $f(x)=\ln x, g(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $g(x)$ 的单调区间和最小值； （2）讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系； （3）求 $a$ 的取值范围，使得 $g(a)-g(x)<\frac{1}{a}$ 对任意 $x>0$ 成立．